Géométrie - Cours Première S

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Géométrie - Cours Première S

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Vecteur directeur d'une droite

Définition

Un vecteur  est le vecteur directeur d'une droite "d" s'il est colinéaire à tout vecteur défini à partir de deux points de cette droite.

Le vecteur  est colinéaire à , c'est donc un vecteur directeur de (d)

Conséquences:

- Le vecteur directeur d'une droite a la même direction que cette droite.
- Il est aussi le vecteur directeur de toutes les droites parallèles à la droite "d"
- Tout vecteur  colinéaire à  (c'est à dire tel que      = k.) est aussi un vecteur directeur de la droite  "d".

les doites (d) et (d') sont parallèles, puisque  est un vecteur directeur de (d) c'est aussi un vecteur directeur de (d')

Les  , , et sont tous colinéaires à  qui est un vecteur direceur de (d), ils sont aussi des vecteurs directeurs de (d)
Par contre  n'est pas colinéaire à  ce n'est donc pas un vecteur directeur de (d)

Trouver le vecteur directeur d'une droite à partir de deux de ses points

Si les points A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) appartiennent à une droite "d" alors le vecteur  =  est un vecteur directeur de cette droite et ses coordonnées sont:
x_u = x_B - x_A
y_u = y_B - y_A

Si A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) sont les deux points d'une droite alors  (x_B - x_A ; y_B - y_A) est l'un des vecteurs directeurs de cette droite.

Puisque A et B sont deux point de (d) et que =  alors est un vecteur directeur de (d)

Trouver le vecteur directeur d'une droite "d" à partir de son équation

Si une droite a pour équation réduite y =ax + b alors il suffit de déterminer deux points de cette droite pour trouver un vecteur unitaire.
On peut choisir le point de coordonnées  A(x_A;y_A) ainsi que le point M ayant comme abscisse xM =  x_A + 1 et comme ordonnée y_M = ax_M + b soit y_M = a.(x_A + 1) +b

Dans ce cas le vecteur directeur  = a pour coordonnées:

x_u = x_M - x_A
     = x_A + 1 - x_A
     = 1

y_u = y_M - y_A
     = a.(x_A + 1) +b - y_A
     = a.(x_A + 1) +b - (a.x_A +b)
     = a.x_A + a + b - a.x_A - b
     = b

Une droite dont l'équation réduite est y a.x + b possède toujours comme vecteur directeur (1 : a)