Analyse - Cours Terminale S

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Dérivée de la fonction composée d'une fonction affine par une fonction quelconque

Si "g" est une fonction affine de forme g(x) = ax +b définie sur l'ensemble des réels et "u" une fonction quelconque, alors la composée de la fonction affine par cette fonction quelconque est f(x) = u(ax+b).

Par définition la dérivée de "f" est:

f'(x) =  f(x +h) - f(x)
                         h
f'(x) =  u( a(x +h) +b) - u(ax + b)
                                  h
f'(x) =  u( ax + b +ah) - u(ax + b)
                                  h
f'(x) = a. u( ax + b +ah) - u(ax + b)
                                 ah
f'(x) =a.   u( ax + b +ah) - u(ax + b)
                                 ah

lorsque h tend vers 0, le produit ah tend aussi vers 0 donc on a équivalence entre les deux expressions de limite suivantes:

f'(x) =a.   u( ax + b +ah) - u(ax + b) =     
                                 ah                                                          
f'(x) =a.   u( ax + b +ah) - u(ax + b)    
                                      ah
f'(x) = a.u'(ax +b)

Pour toute fonction afine g(x) = ax + b et toute fonction "u":  (u(ax+b))' = a.u'(ax+b)

Exemples

             2x + 4                                                                                                                                               x
f'(x) = (u(ax+b))' = a.u'(ax+b)
f'(x) = (u(2x+4))' = 2.u'(2x+4) puisque "u" est la fonction inverse u'(x) =  -1      
                                                                                                                      x²
f'(x) = 2 .    -1                            
                (2x+4)²                                                                 

f'(x) =     - 2              
            (2x+4)²