Analyse - Cours Terminale S

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Relation fonctionnelle et propriétés algébriques

Relation fonctionnelle

On considère la fonction f définie comme le produit f(x) = exp( a + b - x ).exp(x) où a et b sont deux réels fixes quelconques.

Sa dérivée est:

f'(x) =  exp'( a + b - x ).exp(x) + exp( a + b - x ).exp'(x) avec exp'( a + b - x ) = -exp( a + b - x ) et exp'(x) = exp(x)

f'(x) =  -exp( a + b - x ).exp(x) + exp( a + b - x ).exp(x)

f'(x) = 0

Puisque sa dérivée est nulle pour tout "x" réel on peut en déduire que la fonction "f" est constante et en particulier:

f(0) = f(b)

exp(a + b - 0).exp(0) = exp(a + b - b).exp(b)

exp(a + b).1 = exp(a + 0).exp(b)

exp(a + b) = exp(a).exp(b)
 

L'exponentielle de la somme de deux nombres correspond donc au produit des exponentielles de chacun de ces nombres.

Exponentielle de l'opposé d'un nombre

Soit "f" la fonction définie comme le produit de l'exponentielle d'un nombre par l'exponentielle de l'opposé de ce nombre: f(x) = exp(x).exp(-x)

Sa dérivée est:

f'(x) = exp'(x).exp(-x) + exp(x).exp'(-x) avec exp'(x) = exp(x) et exp'(-x) = -exp(-x)
 
f'(x) = exp(x).exp(-x) + exp(x).(-exp(-x))

f'(x) = exp(x).exp(-x) - exp(x).exp(-x)

f'(x) =  0

La fonction f est donc constante:

exp(x).exp(-x) = constante

en particulier:

exp(x).exp(-x) = exp(0).exp(-0)

exp(x).exp(-x) = 1.1

exp(x).exp(-x) = 1

exp(x) =       1        
                exp(x)

L'exponentielle de l'opposé d'un nombre correspond à l'inverse de l'exponentielle de ce nombre

Exponentielle d'une différence

soit "a" et "b" deux réels fixes quelconques:

exp(a-b) = exp (a + (-b))
               = exp(a).exp(-b)
               = exp(a)
                  exp(b)

L'exponentielle de la différence de deux nombres correspond donc au rapport des exponentielles de ces deux nombres

Exponentielle du produit d'un réel et d'un entier

Pour tout réel "a" et entier "n" on peut démontrer (par exemple par récurrence) que:

L'exponentielle du produit d'un entier "n" par un réel "a" correspond à l'exponentielle de ce réel élevée à la puissance "n"


Les différentes relations exprimées avec la notation "e" de l'exponentielle