Analyse - Cours Première S
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Equations du second degré
Qu'est -ce qu'une équation du second degré ?
Il s'agit d'un équation qui comporte des constantes, des termes en "x" et des termes en "x2". Elle peut toujours, en développant puis en réduisant, se ramener à une équation de la forme:
ax2 + bx + c = 0
On identifie un polynôme du second degré qui peut s'écrire sous sa forme canonique ce permet d'écrire cette équation sous les formes suivantes:
ou
a.(x + b )2 - Δ = 0
2a 4a
ou
f(x) = a(x -xs)2 - ys
Les solutions d'une équation du second degré
a.(x + b )2 - Δ = 0
2a 4a
a.(x + b )2 = Δ
2a 4a
(x + b )2 = Δ
2a 4a2
On distingue trois situations:
- si Δ<0 alors l'équation n'admet aucune solution puisque le terme de gauche est carré qui ne peut par conséquent pas être négatif
- si Δ=0 alors
(x + b )2 = 0
2a
(x + b ) = 0
2a
x = - b
2a
L'équation admet une seule et unique solution:
x = b
2a
- si Δ>0 alors
(x + b )2 = Δ
2a 4a2
x + b = 
ou x + b = -
2a 2a 2a 2a
L'équation admet donc deux solutions:
x1 = - b + ou x2 = -b -
2a 2a
Racines de l'équation et factorisation
Les solutions d'une équation du second degré sont aussi appelées "racines", elles peuvent être utilisées pour factoriser le polynôme qui intervient dans cette équation.
- si Δ<0 puis qu'il n'y a pas de solution, le polynôme n'est pas factorisable.
- si Δ=0 il y une seule solution
( x1 = -b ): ax2 + bx + c = a(x - x1 )2
2a
- si Δ>0 il y a deux solutions (x1 et x2 ): ax2 + bx + c = a( x - x1 ).( x - x2 )
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