Analyse - Cours Première S
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Signe d'un trinôme
L'étude du signe d'un trinôme est plus simple lorsque celui-ci se présente sous sa forme factorisée, on distingue alors trois situations en fonction du signe et de la valeur du discriminant.
Si le discriminant est négatif (Δ<0)
f(x) = a.(x + b )2 - Δ
2a 4a
f(x) = a [ (x + b )2 - Δ ]
2a 4a2
le terme (x + b )2 est positif (comme tous les carrés)
2a
le terme - Δ est également positif
4a2
La somme des deux termes est donc postives et le signe de du trinôme est celui de "a"
Conclusion: si a<0 alors le trinôme est négatif et si a>0 alors le trinôme est positif sur l'ensemble des réels
Si le discriminant est nul (Δ=0)
La forme factorisée du trinôme est:
f(x) = a(x - x1 )2 où x1 est la racine du trinôme
( x1 = -b )
2a
Puisque le terme (x - x1 )2 est positif le trinôme et du signe de "a" est s'annule pour la racine
Conclusion: si a<0 alors le trinôme est négatif et si a>0 alors le trinôme est positif sur l'ensemble des réels
Si le discriminant est positif (Δ>0)
La forme factorisée du trinôme est:
f(x) = a( x - x1 ).( x - x2 ) où x1 est la première racine (la plus petite) et x2 la seconde racine (la plus grande)
Le terme ( x - x1 ) est négatif sur l'intervalle ] 
; x1 ] puis négatif sur l'intervalle [ x1 ; 
[
e terme ( x - x2 ) est négatif sur l'intervalle ] ; x2 ] puis négatif sur l'intervalle [ x2 ; [
Le produit ( x - x1 ).( x - x2 ) est donc positif sur ] ; x1 ], négatif sur [ x1 ; x2 ] puis positif sur [ x2 ; [
Conclusion:
Le trinôme est du signe de "a" (ou nul) sur ] ; x1 ]
Le trinôme est du signe opposé à celui de "a" (ou nul) sur [ x1 ; x2 ]
Le trinôme est du signe de "a" (ou nul) sur [ x2 ; [
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