Analyse - Cours Première S

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Analyse - Cours Première S

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Dérivée d'un produit et d'un quotient de fonctions

Dérivée d'un produit de fonctions

Si une fonction "f"est définie comme le produit de deux fonctions "u" et "v" dérivables sur le même intervalle "I": f = u.v
Par définition:

f'(x) =  f(x +h) - f(x)
                         h

f'(x) =  u.v(x +h) - u.v(x)
                          h

f'(x) =  u(x +h).v(x +h) - u(x).v(x)
                                  h

f'(x) =  u(x +h).v(x +h) -u(x).v(x+h) +u(x).v(x+h) - u(x).v(x)
                                             h
f'(x) =  u(x +h).v(x +h) -u(x).v(x+h) +u(x).v(x+h) - u(x).v(x)
                                             h
f'(x) =  [u(x +h)-u(x)].v(x +h) + u(x).[v(x+h)- v(x)]
                                             h
f'(x) =  u(x +h)-u(x).v(x +h) + u(x).[v(x+h)- v(x)]
                           h                                      h
Lorsque h tend vers 0:
- Le terme u(x +h)-u(x) correspond à la dérivée de la fonction u (u')
                           h                              
- Le terme v(x+h) tend vers v(x)
Le terme v(x+h)- v(x)   correspond à la dérivée de la fonction v (v')
                        h
On obtient donc :

f'(x) = u'(x).v(x) + u(x).v'(x)

Dérivée de l'inverse d'une fonction

Soit "f", une fonction définie comme l'inverse d'une fonction "u":
f(x) = 1  
          u
Par définition:

f'(x) =  f(x +h) - f(x)
                         h
                      1       -   1  
f'(x) =  u(x +h)     u(x)
                           h
                       u(x)            -       u(x+h)    
f'(x) =   u(x +h).u(x)       u(x).u(x+h)
                                        h
                    u(x)  - u(x+h)    
f'(x) =      u(x +h).u(x)    
                             h

f'(x) =  u(x) - u(x+h)  
                  u(x).u(x+h).h

f'(x) =  u(x+h) - u(x)   .      - 1            
                         h                u(x).u(x+h)

Lorsque h tend vers 0:
- Le terme u(x+h) - u(x)   correspond à u'(x)
                          h           
- u(x+h) tends vers u(x) donc le terme        - 1           tend vers        - 1            
                                                                u(x).u(x+h)                        u(x)²
On obtient donc:

f'(x) =   - u'(x)    
               u(x)²

Dérivée d'un quotient de fonctions

Soit "f" une fonction définie comme le quotien d'une fonction "u" par une fonction "v":
f(x)=  u(x)  
        v(x)
On peut considérer que ce quotien est le produit de la fonction "u" par l'inverse de fonction "v"

D'après le résultat obtenu sur les produits de fonctions:

( u . 1  ) ' =  u'.  1  +  u . ( 1 ) '
        v                v              v

D'après le résultat obtenu sur la dérivée de l'inverse d'une fonction  
( 1  ) ' = -v'
  v          v²
( u . 1  ) ' =  u'.  1  -  u .  v'    
        v                v           v²
( u . 1  ) ' =  u'.v  -      u.v'  
        v           v²             v²

( u . 1  ) ' =  u'.v - u.v'  
        v               v²

L'ensemble de définition de  f' correspond à l'intersection des ensembles de définition de la u, u', v et v' privée des valeurs pour lesquelles la fonction "v" s'annule.