Analyse - Cours Première S

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Nombre dérivée d'une fonction en un point

Taux d'acroissement d'une fonction

Le taux d'accroissement d'une fonction "f"entre deux points x₁ et x₂ de son intervalle de définition correspond au rapport de la variation de f par la variation de "x". Il est noté "τ" (lettre grecque tau) et peut être exprimé par la relation:
τ = Δf
       Δx
τ = f(x₂) - f(x₁)
          x₂ -  x₁

Remarque: le calcul du taux d'accroissement est l'une des méthodes qui permet de déterminer le coefficient directeur d'une fonction affine.

Si l'on souhaite calculer le taux d'accroissement d'une fonction "f" au voisinage d'un point d'abscisse "c" alors on considère ce point et un deuxième point d'abscisse "c+h".
L'expression du taux d'accroissement devient alors :
τ(c) = f(c+h) - f(c)
            (c+h) - c
τ(c) = f(c+h) - f(c)
                   h

Définition de la dérivée

La dérivée d'une fonction "f" une fonction notée f' qui associe à tout point "a" de son ensemble de définition le taux d'accroissement au voisinage de "c" lorsque "h" tend vers une valeur limite de zéro. On peut l'exprimer de la manière suivante:

f'(c) =  f(c +h) - f(c)
                         h

Si cette limite existe au point "c" et donc que f' est défine en "c"  alors on dit que la fonction "f" est dérivable en "c"

Exemple: nombre dérivée d'une fonction affine

Soit une fonction affine de formule f(x)= ax + b, on souhaite calculer le nombre dérivé au point c:
f'(c) =  f(c +h) - f(c)
                         h
f'(c) =  a(c +h) +b - (a.c+b)
                         h
f'(c) =  a.c+ a.h +b -a.c - b
                         h
f'(c) =   a.h 
                     h
f'(c) =   a
Puisque a est indépendant de h, on en déduit:
f'(c) = a
Remarque: ce résultat est indépendant de la valeur de "c" ce qui signifie que tous les réel ont le même nombre dérivé par cette fontion affine.                     

Exemple: nombre dérivée d'une fonction carré

Soit une fonction carrée de formule f(x)= x², on souhaite calculer le nombre dérivé au point c:
f'(c) =  f(c +h) - f(c)
                         h
f'(c) =  (c +h)² - .c²
                         h
f'(c) =  c²+ 2c.h + h² - c²
                         h
f'(c) =   2c.h + h²
                         h
f'(c) =   2c + h
Lorsque h tend vers 0 l'expression 2c + h tend vers 2c + 0 c'est à dire vers 2c donc
f'(c) = 2c