Analyse - Cours Première S
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Suites géométriques
Définition
Une suite géométrique est une suite "u" définie par la donnée d'un terme initial u0 et une relation de récurrence de la forme:
où "q" est un nombre réel (positif ou négatif ) appelé raison de la suite "u"
Pour définir une suite géométrique il suffit d'indiquer son terme initial ainsi que sa raison.
Une suite géométrique est composée de termes qui sont multipliés par un facteur "q" à chaque nouveau rang
Exemples:
- Si un+1 = un.2 et u0 = 1 alors "u" est une suite géométrique de raison "2" avec u1 = 1.2 = 2 ; u2 = 2.2 = 4 ; u3 = 4.2 = 8, u4 = 8.2 = 16 etc
- Si un+1 = un. (-3) et u0 = 2 alors "u" est une suite géométrique de raison "-3" avec u1 = 2.(-3) = -6 ; u2 = (-6).(-3) = 18 ; u3 = 18.(-3) = -54 ; u4 = (-54).(-3) = 162 etc
Expression d'une suite arithémique par une formule explicite
Toute suite géométrique peut s'exprimer par une fonction "f" avec f(n) = un = u0.qn
Réciproquement, si une suite est définie par une fonction "f" de la forme f(x) = a.bx il s'agit d'une suite géométrique de raison q = b et de terme initial u0 = a.
On peut vérifier qu'il est possible de passer d'une forme à l'autre:
un+1 = u0.qn+1
un u0.qn
un+1 = qn+1
un qn
un+1 = qn+1-n
un
un+1 = q
un
un+1 = q. un
Variations d'une suite géométrique
Puisque un+1 = q on en déduit que:
un
- si q est supérieur 1 alors la suite est croissante
- si q = 1 la suite est constante (un = u0)
- si q est compris entre 0 et 1 la suite est décroissante
- si q = 0 la suite est constante à partir de u1 (Un = 0)
- si q est négatif alors la suite n'est pas monotone (elle alterne les termes positifs et négatifs)
Limites
Si la raison est supérieure à 1 alors la suite géométrique diverge vers 
Si la raison est égale à 1 alors la suite converge vers u0
Si la raison est comprise entre -1 et 1 alors la suite converge vers 0
Si la raison est inférieur à -1 alors la suite géométrique diverge en alternant de valeurs positives et négative dont la valeur absolue tend vers l'infini.
Somme des termes d'une suite arithmétique
La somme "S" des N premiers termes d'une suite géométrique (de u0 à uN-1) correspond au produit du terme initial par le rapport de la différence entre 1 et la raison élevée à la puissance du nombre de termes (N) divisé par la différence etre 1 et la raison soit:
S = u0 + u1 + u2 + u3 ........ + uN-1 = u0 . 1-qN
1-q
Si l'on additionne les termes de u0 à uN (soit N+1 termes) alors on obtient:
S = u0 + u1 + u2 + u3 ........ + uN = u0 . 1-qN+1
1-q
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