Analyse - Cours Première S
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Sens de variation d'une suite numérique
Définitions
Une suite "u" est dite croissante si pour tout n: un+1 
un
Une suite "u" est dite strictement croissante si pour tout n: un+1 > un
Une suite "u" est dite décroissante si pour tout n: un+1 
un
Une suite "u" est dite strictement décroissante si pour tout n: un+1 < un
Une suite est dite monotone si elle soit croissante soit décroissante
Remarque: certaines suites ne sont croissantes (ou décroissante) qu'au delà d'un certain rang, dans ce cas les inégalités qui les caractérisent ne sont valables qu'au delà de ce rang et il est nécessaire de préciser ce rang lorsqu'on indique leur variation.
Déterminer les variations d'une suite définie par une formule de type un = f(n)
Si une fonction "f" est caractisée par un type de variation (croissante, décroissante, strictement croissante ou décroissante) sur un intervalle de forme [ a ; 
[ ("a" est un réel positif) alors une suite u définie par un = f(n) possède les mêmes variations à partir du plus petit rang inclu dans cet intervalle.
Exemple:
La suite u est caractérisée par un terme général un = (n-5)2
La fonction f(x) = (x-5)2 est croissante sur l'intervalle [ 5 ; [ donc la fonction u est croissante à partir du rang 5
Pour déterminer les variations d'une suite définie par une formule explicite, il suffit donc de réaliser une étude des variations de la fonction correspondante, en se basant sur notre connaissance des fonctions de références et de leurs combinaisons ou en étudiant le signe de sa dérivée.
Déterminer les variations d'une suite définie par récurrence
Méthode n°1
Pour déterminer les variations d'une suite définie par récurrence on peut étudier le signe de la différence entre un terme et le suivant c'est à dire de Un+1 - Un
- Si pour tout n p: Un+1 - Un 0 alors la suite est croissante à partir du rang p.
- Si pour tout n p: Un+1 - Un > 0 alors la suite est strictement croissante à partir d'un rang p.
- Si pour tout n p: Un+1 - Un 0 alors la suite est décroissante à partir d'un rang p.
- Si pour tout n p: Un+1 - Un < 0 alors la suite est strictement décroissante à partir d'un rang p.
- Si pour tout n p: Un+1 - Un = 0 alors la suite est constante à partir d'un rang p.
Méthode n°2
Si les différents termes de la suite sont positifs alors on peut étudier le rapport un+1 / un.
Si ce rapport est supérieur ou égal à 1 alors un+1 un donc la suite est croissante.
Si ce rapport est strictement supérieur à 1 alors un+1 > un donc la suite est strictement croissante.
Si ce rapport est inféreur ou égal à 1 alors un+1 un donc la suite est décroissante.
Si ce rapport est strictement supérieur à 1 alors un+1 < un donc la suite est strictement décroissante.
Si ce rapport est égal à 1 alors un+1 = un donc la suite est constante.
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