Géométrie - Cours Première S

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Géométrie - Cours Première S

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Expression d'un vecteur en fonction deux vecteurs non colinaires

Exprimer un vecteur du plan en fonction de deux autres vecteurs

Soit  un vecteur appartenant au même plan que les vecteurs  et  (non colinéaires entre eux): il est toujours possible d'exprimer  comme la somme d'un vecteur colinéaire à  et d'un vecteur colinéaire à . Il existe donc toujours deux réels "a" et "b" tels que = a + b

En effet, si les coordonnées des vecteurs sont (x_u ; y_u),  (x_v ; y_v),  (x_w ; y_w) dans le repère orthonormé du plan alors:

(1) x_u= ax_v + bx_w  
(2) y_u= ay_v + by_w  

(1') x_u.y_v= ax_v.y_v + bx_w.y_v  
(2') y_u.x_v= ay_v.x_v + by_w.x_v  

Si l'on soustrait (2') à (1') on obtient:
x_u.y_{v -} y_u.x_{v =}  ax_v.y_v - ay_v.x_v + bx_w.y_v - by_w.x_v  
x_u.y_{v -} y_u.xv = b(x_w.y_v - y_w.x_v)

On en déduit la valeur de "b":

b =   x_u.y_{v -} y_u.xv
       x_w.y_v - y_w.x_v 

Pour obtenir "a" on peut procéder d'une manière similaire en multipliant l'équation (1) par y_w et l'équation (2)par x_w
(1'') x_u.y_w= ax_v.y_w + bx_w.y_w  
(2'') y_u.x_w= ay_v.x_w + by_w.x_w          

Si l'on soustrait (2'') à (1'') on obtient:
x_u.y_w -  y_u.x_w = ax_v.y_w + bx_w.y_w  - ay_v.x_w - by_w.x_w
x_u.y_w -  y_u.x_w = a(x_v.y_w - y_v.x_w)

On en déduit la valeur de "a"

a =  x_u.y_w -  y_u.x_w         
       x_v.y_w - y_v.x_w

Remarque: l'expressions de "a" et "b" sous forme de fraction implique que leur dénominateur ne soit pas nul or la
condition  x_v.y_w - y_v.x_w = 0 équivaut à la colinéarité des vecteurs   et  qui est écartée dans les hypothèses de départ.

Utiliser deux vecteurs comme base du plan

Si deux vecteurs   et  non colinéaires permettent d'exprimer n'importe quel vecteur  du plan alors ces deux vecteurs peuvent servir de nouvelle base pour ce plan.

Dans l'expression   = a + b les valeurs "a" et "b" correspondent alors aux coordonnéer du vecteur    dans la base de vecteur  ( ; )