Géométrie - Cours Première S

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Géométrie - Cours Première S

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Mesure d'un angle orienté

Définition

Un angle orienté entre deux vecteurs et  est noté (  ; ),  il correspond à l'angle de la rotation (dans le sens trigonométrique) que doit subir le vecteur pour être colinéaire à et orienté dans le même sens.

Différentes valeurs d'un même angle orienté

On note α l'angle géométrique IÔM entre les rayons [OI] et [OM] du cercle trigonométrique. Si l'on définit les vecteurs =   et  =  alors il existe différentes valeurs permettant l'angle orienté (  ; )

Il peut tout d'abord être obtenu en passant directement du point I au point M par rotation dans le sens direct: il s'agit de la plus petite valeur positive permettant d'exprimer l'angle(  ; ).

Cependant, ce même angle peut être balayé par passage de I à M suivi d'un tour complet du cercle dans le sens direct il correspond alors à α + 360° ou encore de  α + 2Exdd

Cet angle peut ausi être obtenu par passage de I à M suivi, cette fois, de deux tours complets du cercle dans le sens direct ce qui correspond à α + 2x360° ou encore de  α + 2x2π

On peut également envisager que que le passage de I à M soit suivi de 3, 4, 5, 6, 7 tours etc, ou un nombre quelconque de tours dans le sens positif, dans chacun de ces cas on continue à exprimer l'angle (  ; ).

On peut également de passer de I à M en tournant dans le sens indirect, l'angle balayé sera alors de α + (-2π)

Ce passage de I à M dans le sens indirect peut également être suivi d'un où plusieurs tours complets dans le sens indirect, ce qui équivaudrait à des angles α + 2.(-2π), α + 3.(-2π), α + 4.(-2π) etc.  

Il existe par conséquent un nombre infini de valeurs positives et de valeurs négatives qui permettent d'exprimer le même angle orienté.

Mesure principale d'un angle

Comme on vient de la voir, un angle orienté peut être exprimé par différentes valeurs positives ou négatives mais parmi ces dernières on en distingue une que l'on appelle "mesure principale", il s'agit de la valeur (négative ou positive) qui est obtenue sans faire de tour supplémentaire dans le sens direct ou indirect.

La mesure principale d'un angle est sa valeur comprise dans l'intervalle ]-π ; π ]

Expressions des différentes valeurs d'un angle

Si α est la mesure principale d'un angle (  ; ) alors toutes les valeurs qui exprime cet angle peuvent être obtenues en ajoutant ou en retranchant 2π un nombre entier. On peut donc écrire que:

Pour simplifier pourra aussi noter  (  ; ) = α (2π)  ou (  ; ) = α (mod 2π) qui se lit "alpha modulo  2π"