Géométrie - Cours Première S

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Propriétés du produit scalaire

Les différentes expressions du produit scalaire permettent de déduire des propriétés applicables lors des calculs. Certaines de ces propriétés présentes de fortes analogies avec celles des nombres réel: commutativité, distributivité, identités remarquables etc

La commutativité du produit scalaire

Le produit scalaire deux vecteurs  (x ; y ) et (x';y') peut  être exrprimé par la relation:

. =  x.x' + y.y'

Si l'on inverse ces deux vecteurs (on les commute) alors

.  =  x'.x + y'.y

Puisque x.x' + y.y' = x'.x + y'.y on déduit donc que

Le produit vectoriel est commutatif, quel que soit l'ordre dans lequel interviennent les deux vecteur, le résultat reste le même.

Commutativité des facteur réels

Soit k une constante réel alors;

k( . ) = k (x.x' + y.y')
              = kx.x' + ky.y'

(k) . = (kx).x' + (ky).y
              = kx.x' + ky.y'   

. (k) = x.(kx') + y.(ky)

Ces trois résultats perment de déduire que:

Distributivité

Soit trois vecteurs  (x ; y ), (x';y') et (x'';y'').
.( + ) = x''(x+x') + y''(y+y')
                = x''x + x''x' + y''y + y''y'
                =   x''x + y''y  + x''x' +y''y'
Le terme   x''x + y''y  correspond au produit scalaire . et le terme x''x' +y''y' correspond au produit scalaire . on peut donc en déduire:

On pourrait en suivant le même raisonnement démontrer la double distributivité:

 
Identités remarquables

( + )² = ( + ).( + )
               = . + . + . + .
                = ² + . + . + ²
                 = ² +2.+ ²

( - )² = ( - ).( - )
               = . - . - . + .
                = ² - . - . + ²
                 = ² - 2.+ ²

( + ).( - ) = . - . + . - .
                        =  ² + 0 - ²
                        =  ² - ²