Statistiques - probabilités - Cours Première S

Des cours gratuits de mathématiques de niveau lycée pour apprendre réviser et approfondir
Des exercices et sujets corrigés pour s'entrainer.
Des liens pour découvrir

Statistiques - probabilités - Cours Première S

Statistiques - probabilités - Cours Première S

Variance et écart type

Définition de la variance

La variance est grandeur notée V, toujours positive qui correspond à la moyenne de du carré de la différence entre les valeurs d'une série statistiques et la moyenne de cette série.

Si une série statistique porte sur une population d'effectif total "N", dont la moyenne des valeurs étudiées est , où chaque valeur x₁, x₂, x₃, x₄....x_k est respectivement associée à un effectif n₁, n₂, n₃, n₄... n_k alors la variance "V" de cette série peut être calculée grâce à la formule suivante:

Il est possible de condenser cette expression en utilisant la lettre grecque majuscule sigma (Σ) qui permet de symboliser une somme de termes distingués par un indice différent, en général noté "i" dont la première valeur est indiquée en bas et la dernière en haut. On obtient ainsi:

Le terme en 1/N étant constant, il peut être mis en facteur donc on peut également écrire:

Les autres expressions possibles de la variance

La fréquence f_i assocciée à une valeur x_i est égale au rapport de l'effectif n_i par l'effectif totale soit f_i = n_i    
                                                                                                                                                                         N
La formule de la variance peut donc s'écrire:

Si l'on développe le carré on obtient:                     
(x_i -)² = x_i² - 2x_i  + ²     
n_i(x_i -)² = n_ix_i² - n_i2x_i + n_i ²        

n_i(x_i -)² =   n_ix_i² -2 n_ix_i + ² n_i   or   n_{i = N et}   n_ix_i= N

n_i(x_i -)² =   n_ix_i² -2.N + ².N    

n_i(x_i -)² =   n_ix_i² -2².N + ².N    

n_i(x_i -)² =   n_ix_i² -N²      
   
V =  1 . n_i(x_i -)² = 1 . [  n_ix_i² -N²]    
       N                        N

Au final on obtient l'expression suivante:

Cette formule est la plus simple à utiliser pour calculer la variance, elle indique également qu'elle peut être interprétée comme la différence entre la moyenne des carrés des valeurs et le carré de la moyenne.

Exemple de calclul d'une variance

notes obtenues par les élèves d'une classe à un contrôle

Note sur 10	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Nombre d'élèves	0	1	2	8	7	5	3	2	2	2	2
Effectifs cumulés	0	1	3	11	18	23	26	28	30	32	34

Si on applique la formule    V  = (  1  .   n_ix_i²) - ²    
                                                     N        
On doit d'abord calculer la moyenne:    = ( 0x0 + 1x1 + 2x2 + 8x3 + 7x4 + 5x5 + 3x6 + 2x7 + 2x8 + 9x2 + 10x2) : 34
                                                               =  4,94
V = [  1  . (  0x0² + 1x1² + 2x2² + 8x3² + 7x4² + 5x5² + 3x6² + 2x7² + 2x8² + 9x2² + 10x2²)] - 4,94   
        34
V = [  1  . (728)] - 4,94   
        34
V = (21,41-4,94)

V = 16,47

L'écart type

L'écart type est une grandeur toujours positive, notée "s", définie comme la racine carrée de la variance:

C'est une grandeur qu'il est difficile de se représenter mais qui reflète bien la dispersion des différentes valeurs autour de la moyenne: plus l'écart type est petit et plus les valeur de la série statistique sont concentrées autour de la moyenne, plus  l'écart type et plus les valeur ont tendance à sen éloigner.