Statistiques - probabilités - Cours Première S

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Epreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli

Epreuve de Bernouilli

Une épreuve de Bernouilli est une expérience aléatoire qui n'admet que deux issues différentes, l'une est qualifiée de "succès" et l'autre d'échec.

Par exemple si l'on lance une pièce on ne peut obtenir que deux issues (pile ou face) et l'on peut choisir de désigner le succès comme "face" et l'échec comme "pile" (ou l'inverse).

Autres exemples d'épreuve de Bernoulli:
- Piocher au hasard dans un sac qui ne contient que des boules noires et blanches.
- Choisir sans la voir ou l'entendre une personne dans un groupe comprenant des hommes et des femme.
- Répondre par vrai ou faux à une question concernant un domaine totalement inconnu.

Variable de Bernoulli et loi de Bernouilli

Définitions

on appelle variable de Bernoulli, une variable aléatoire définie pour une épreuve de bernouilli qui associe la valeur "1" pour un succès et "0" pour un échec 

La loi de Bernoulli est la loi de probabilité associée à une variable de Bernoulli.

Si l'on note "p" la probabilité d'obtenir un succès ( P(X=1)=p ) et q la probabilité d'obtenir un échec (P(X=0)=q) alors:
p + q = 1 (puisque l'une propriété d'une loi de probabilité est que la somme de toute les probabilité est "1")

Cette relation permet d'exprimer "p" en fonction de "q" ou "q" en fonction de "p":

q = p - 1 et p = q - 1

Remarque: si "p" est la probabilité de succès par une loi de Bernouilli, on dit également que "p" est le paramètre de cette loi.

Espérance et variance d'une variable de Bernouilli

Si X est une variable de Bernoulli de Paramètre P alors son espérance est:
E(X) = x_i.p_i  
E(X) = 1.p(X=1) + 0.p(X=0)
E(X) = 1.p +0
E(X) = p

L'espérance d'une variable de Bernoulli de parapètre p a donc pour valeur "p"

Sa variance est:
V(X) = [x_i².p_i] - (E(x))²    
V(X) = [ 1².p + 0².q] - p²    
V(X) = [   p    + 0 ] - p²        
        = p  - p²  
        = p(1-p)
        = pq
       
La variance d'une variable de Bernoulli de parapmètre "p"



 a donc pour valeur p(1-p) (ou pq)