Statistiques - probabilités - Cours Première S

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Statistiques - probabilités - Cours Première S

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Variable aléatoire discrète et loi de probabilité

Variable aléatoire discréte

Définition: Lorsqu'une expérience aléatoire conduit à des issues (ou évenements élémentaires) a₁, a₂, a₃...a_k dont l'ensemble Ω= {a₁, a₂, a₃...a_k} constitue l'univers alors on peut définir une variable alétoire X qui est une fonction de Ω vers l'ensemble des nombres réels.

Dans le domaine des probabilités, les notations concernant les fonctions ne sont pas toujours les mêmes que celles vues en analyse, en particulier, l'ensemble des éléments de l'univers Ω dont l'image est x_i est noté (X=x_i)

Exemple de variable aléatoire discrète

On utilise deux dés à 6 faces, identiques, parfaitement équilibré de manière à ce qu'il y ait équiprobabilité d'obtenir les différentes valeurs. Après avoir lancé simultanément les deux dés on aditionne les valeurs obtenus. On définit ainsi une variable aléatoire X qui:
au couple de valeur (1; 1) associe  le réel 1+1 = 2
au couple de valeur (1; 2) associe  le réel 1+2 = 3
au couple de valeur (2; 1) associe  le réel 2+1 = 3
au couple de valeur (2; 2) associe  le réel 2+2 = 4
etc

Pour représenter cette fonction les différent résultats de cette fonction on peut utiliser un tableau où sont ajouté la valeur du dé n°1 (première ligne) et la valeur du dé n°2 (première colonne)

	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Les images obtenues par la variable X appartiennent donc à l'ensemble {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}

On a par exemple (X = 2) = {(1 ; 1)}
                              (X = 3) = { (1 ; 2), (2 ; 1) }
                              (X = 4) = { (1 ; 3), (3 ; 1) (2 ; 2) }
                               etc

Loi de probabilité d'une variable aléatoire

Pour toute variable aléatoire X, il est possible de définir une loi de probabilité P qui associe une probabilité à tout évenement x_i (image par la variable aléatoire)

Exemple de loi de probabilité

Si l'on reprend l'exmple précédent (où l'on additionne les valeurs obtenues en lançant deux dés), l'obtention de chaque couple est équiprobable avec 6x6 = 36 couple possibles donc:

Puisque (X = 2) = {(1 ; 1)} alors P(X=2) = 1/36
Puisque (X = 3) = { (1 ; 2), (2 ; 1) } alors P(X=3) = 2/36
Puisque (X = 4) = { (1 ; 3), (3 ; 1) (2 ; 2) } alors P(X=4) = 3/36
etc

Les probabilités associées à chaque valeur peuvent être présentées dans un tableau

xi	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
P(xi)	1     36	2    36	3    36	4    36	5    36	6    36	5    36	4    36	3    36	2    36	1    36

Pour s'assurrer de l'absence d'erreurs, on peut vérifier que le total est bien égale à 1

 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1    =    36  
                          36                                           36
                                                                   = 1