Les statistiques - Cours de Seconde

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Les statistiques - Cours de Seconde

Statistiques et probabilités

Moyenne

Notation

La moyenne d'une série statistique est notée

Moyenne d'une série de valeurs

Si une population comporte un total de N individus ayant chacun un caractère de valeur x₁, x₂... x_N alors la moyenne de ces valeur est le rapport de la somme de toutes les valeurs par l'effectif total:

Exemple, on souhaite calculer la moyenne des notes au contrôle de mathématique pour un groupe d'élève. Francis a eu 5, Myriam 7, Kevin 3, Ines 6, Steeve, 2 et Roberto 6
 = 5 + 7 + 3 + 6 + 2 + 6
                   6
   = 4,83

Calculer la moyenne pour un caractère discret à partir des effectifs

Si les valeurs d'un caractère discret son ordonnées dans un tableau où les valeurs x₁, x₂, x₃... x_n sont associées respectivement à des effectifs n₁, n₂, n₃... n_N alors l'expression qui permet de calculer la moyenne devient:

Dans ce cas, on parle de moyenne pondérée.

Exemple: On souhaite calculer la moyenne des notes obtenues par les élève d'une classe

Note sur 10 (caractère)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Nombre d'élèves	0	1	1	0	3	4	5	3	3	1	2

 
 = 0x0 + 1x1 +1x2 + 0x3 + 3x4 + 4x5 + 5x6 + 3x7 + 3x8 + 1x9 2x10
                                                23
 = 6,04
La note moyenne est de 6,04

Calculer la moyenne pour un caractère continu à partir des effectifs

Dans ce cas les valeurs sont découpées par classes mais on peut se ramener à des valeurs discrètes en remplassant une classe par le nombre situé au milieu de sont intervalle.
Par exemple, si le caractère étudié est la taille des élèves d'une classe alors l'intervalle [100 ; 110[ est remplacée par la valeur disctréte 105 cm, l'intervalle [110 ; 120 [ est remplacé par la valeur 115 cm, l'intervalle [120 ; 130[ est remplacé par la valeur 125 cm etc
Exemple:

Taille (en cm)	[100;110[	[110;120[	[120;130[	[130;140[	[140;150[	[150;160[	[160;170[	[170;180[
Nombre d'élèves	0	0	1	5	9	7	2	1

 = 0x105 + 0x115 + 1x125 + 5x135 9x145 + 7x155 2x165 1x175
                                                  25
La taille moyenne des élèves de cette classe est de 147,8 cm

Calculer la moyenne à partir des fréquences

= n₁x₁ +n₂x₂ +n₃x₃ ..... + n_nx_n
                   N                  

= n₁x₁ +n₂x₂ +n₃x₃ ..... + n_nx_n
     N         N        N                 N
or
n₁
N
correspond à fréquence f₁ de la valeur x₁,
n₂
N
correspond à la fréquence f₂ de la valeur x₂ etc donc, il est possible de calculer une moyenne à partir des fréquences d'une série statisitique:

Exemple, On reprend le tableau réunissant les notes obtenues dans une classe en y ajoutant une ligne pour les fréquences:

Note sur 10 (caractère)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Nombre d'élèves	0	1	1	0	3	4	5	3	3	1	2
Fréquence	0	0,04348	0,04348	0	0,1304	0,1739	0,2174	0,1304	0,1304	0,04348	0,0869

 = 0x0 + 0,04348x1 + 0,04348x2 + 0x3 + 0,1304x4 +  0,1739x5 + 0,2174x6 +  0,1304x7 + 0,1304x8 + 0,004348x9 + 0,0869x10
 = 6,04 (on retrouve bien la valeur déjà obtenue à partir du calcul utilisant les effectifs)

Quelques propriétés des moyennes

Si un nombre "a" est ajouté à toutes les valeurs d'une série de statistique de moyenne   alors la nouvelle moyenne a pour valeur + a

Si toutes les valeurs d'une série de statistique de moyenne   sont multpliées par un nombre "a" alors la nouvelle moyenne a pour valeur a.

Si toutes les valeurs d'une série de statistique de moyenne   sont divisées par un nombre "a" alors la nouvelle moyenne a pour valeur :a

Si tous les effectifs d'une série sont multipliés (ou divisés) par le même nombre alors la moyenne reste inchangée.