Les statistiques - Cours de Seconde

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Les statistiques - Cours de Seconde

Statistiques et probabilités

Quartile

Définition du premier quartile

Pour une série statique quantitative ordonnée, le premier quartile (souvent noté Q₁) correspond à la plus petite valeur du caractère étudié telle que 25% (un quart !) de la population ait un caractère dont la valeur soit inférieure ou égale à ce premier quartile

Comment trouver le premier quartile à partir des effectifs ?

Etape 1: Determiner l'effectif total N
Etape 2: Calculer le nombre correpondant à un quart de l'effectif total c'est à dire N/4 et arrondir à l'unité supérieur si le résultat n'est pas entier.
Etape 3: Repérer dans le tableau la valeur prise par le caractère de l'individu numéro N/4, cette valeur correpond au premier quartile.
Exemple, notes obtenues par les élèves d'une classe à un contrôle

Note sur 10	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Nombre d'élèves	0	1	1	0	3	4	5	3	3	1	2
Effectifs cumulés	0	1	2	2	5	9	14	17	20	21	23

L'effectif total est 23
23/4 = 5,75 on arrondit donc à 6
L'individu n°6 a une note de 5 sur 20, cette note correpond au premier quartile: Q₁ = 5

Comment trouver le premier quartile à partir des fréquences ?

Cette méthode est plus rapide puisqu'il suffit de repérer la première fréquence cumulée qui soit égale ou supérieure à 0,25: le premier quartile est la valeur associée à cette fréquence cumulée. 
Exemple (on reprend l'exemple précédent)

Note sur 10	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Nombre d'élèves	0	1	1	0	3	4	5	3	3	1	2
Effectifs cumulés	0	1	2	2	5	9	14	17	20	21	23
Fréquences	0	0,043	0,043	0	0,129	0,172	0,215	0,129	0,129	0,043	0,086
Fréquences cumulées	0	0,043	0,086	0,086	0,215	0,387	0,602	0,731	0,86	0,903	1

La première fréquence cumulée supérieure à 0,25 est 0,387, elle correspond à la valeur (la note) 5 ce qui confirme le résultat précédent, premier quartile est de 5.

Définition du troisième quartile

Pour une série statique quantitative ordonnée, le trosième quartile (souvent noté Q₃)correspond à la plus petite valeur du caractère étudié telle que 75% (trois quarts) de la population ait un caractère dont la valeur soit inférieure ou égale à ce troisième quartile.

Trouver le troisième quartile

Tout comme le première quartile il est possible de le trouver en faisant appel soit  aux effectifs soit (de préférence) aux fréquences cumulées.

Si l'on exploite les effectifs alors on peut suivre la méthode suivante:
Etape 1: Determiner l'effectif total N
Etape 2: Calculer le nombre correpond à trois quarts de l'effectif total c'est à dire 3N/4 et arrondir à l'unité supérieur si le résultat n'est pas entier.
Etape 3: Repérer dans le tableau la valeur prise par le caractère de l'individu numéro 3N/4, cette valeur correpond au troisième quartile.
Si l'on choisit d'utiliser les fréquences lalors la détermination du troisième quartile est plus rapide, il suffit de repérer la première fréquence cumulée supérieure ou égale à 0,75, la valeur correspondant est le troisième quartile.
Exemple, si l'on reprend la même série statistique alors la première fréquence cumulée à dépasser 0,75 est 0,86 obtenue pour la note 8 sur 10, qui correspond au troisième quartile: Q₃ = 8

L'intervalle interquartile

Il s'agit de l'intervalle dont les bornes sont premier quartiel (Q₁) et le troisième quartile (Q₃), il correspond donc à l'intervalle [Q₁;Q₃].
Dans l'exemple pris précédement l'intervalle interquartile est [5;8].

L'écart interquartile

Il s'agit de la longueur de l'intervalle interquartile, il peut donc être obtenu par différence entre le troisième et le premier quartile: Q₃  -  Q₁
L'intervalle interquartile de l'exemple de la série de note est 8 - 5 = 3
L'écart interquartile permet de juger du degré de dispersion des valeurs prises par le caractères étudié, plus il est faible et plus les valeurs sont concentrées, regroupées autour de la médiane, plus il est grand et plus les valeurs sont dispersées, éloignées de la médiane.