Analyse - Cours Terminale S
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Limite finie ou infinie d'une suite
Suites convergentes
Définition
Une suite (un) est convergente vers un réel "l" si, quel que soit l'intervalle ouvert incluant ce réel il existe un entier "n" à partir duquel tous les termes de la suite sont compris dans cet intervalle.
On dit alors que la suite (un) admet comme limite finie "l" et on note 
un = l
En pratique, pour démontrer qu'une suite converge vers une limite "l" on choisit le plus souvent un intervalle centré sur "l", de la forme ] l - a ; l + a [ (où "a" est un réel positif) puis l'on motre que quel que soit la valeur de il existe un rang "n" à partir du quel l-a <un < l+a.
Exemple
Si un = 1 on peut démontrer qu'elle est convergente et tend vers 0
n
On doit démonter qu'il existe un rang "n" à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle ] -a ; a[ quel que soit "a".
Pour tout réel "a", si n > 1 alors 1 < a et puisque "n" est un entier positif 1 > 0 ce qui implique 1 > -a
a n n n
Donc pour tout réel "a" il suffit que le rang "n" soit supérieur à l'inverse de a pour que -a < un < a
Propriété
Si une suite est convergente alors elle n'admet qu'un seul réel comme limite
Certaines suites semblent accumuler leurs valeurs autour de différents réels, par exemple si Un = (-1)n.2 + 1/n, le terme 1/n tend vers 0 tandis que le terme (-1)n.2 prend alternativement la valeur "2" lorsque "n" est pair puis "-2" lorsque "n" est impair, cette suite n'est donc pas convergente.
Suites divergentes
Toute suite qui n'est pas convergente est divergente.
Il existe plusieurs sortes de suites divergentes:
- celles qui ne se stabilisent autour d'aucune valeur cars elles suivent des variations périodiques ( par exemple les suites qui incluent un cosinus ou un sinus)
- celles qui croissent sans limite
- celles qui décroissent sans limite
Suites divergentes dont la limite est infinie
Définitions
Une suite (un) diverge vers 
si pour tout réel "a" il existe un rang "n" à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle ] a ; [.
On dit alors que la suite (un) admet comme limite et on note un =
Une suite (un) diverge vers 
si pour tout réel "a" il existe un rang "n" à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle ] ; a [.
On dit alors que la suite (un) admet comme limite et on note un =
Limite des suites usuelles
Il est nécessaire de connaître le comportement à l'infini de certaines suites simple, il sera possible d'en déduire la limite de suites qui s'expriment à partir de ces dernières.
Les suites convergente de limite "0":
un = 1 ; un = 1 ; un = 1 ; un = 1
n n2 n3
et plus généralement un = 1 avec k entier naturel
nk
Les suites divergentes de limite :
un = ; un = n2 ; un =n3
et plus généralement un = nk avec k entier naturel
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