Analyse - Cours Terminale S

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Analyse - Cours Terminale S

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Opération sur les limites

Lorsqu'une suite s'exprime comme une somme, un produit ou un quotient de suites usuelles il est, dans certains cas, possible de prévoir son comportement à l'infini et d'en déduire sa limite.

Somme de suites

Addition de deux suites convergentes

Si u_n et v_n sont deux suites convergentes de limites respectives l et l' alors leur somme, c'est à dire la suite u_n + v_n est aussi convergente et:

  u_n + v_n = l + l'

Addition d'une suite convergente et d'une suite qui diverge vers l'infini

Si u_n est une suite convergente et v_n une suite qui diverge vers l'infini alors leur somme diverge et tend vers l'infini:

Si  v_n =  alors  u_n + v_n = et si Si  v_n =  alors  u_n + v_n = 

Addition de deux suites qui divergent vers l'infini

Si u_n et v_n sont deux suites divergentes ayant même limite ( ou ) alors leur somme est aussi divergente et possède la même limite:

Si  u_n =  et   v_n =  alors  u_n + v_n =

Si  u_n =  et   v_n =  alors  u_n + v_n = 

Par contre, si u_n et v_n sont divergentes vers des limites opposée (l'une tend vers et l'autre vers ) alors on aboutit à une forme dite "indéterminée", c'est à dire qu'il n'existe pas de règle générale on aussi bien avoir une somme convergente qu'une somme qui diverge vers  ou .

Produit de suites

Multiplication de deux suites convergentes

Si u_n et v_n sont deux suites convergentes de limites respectives l et l' alors leur produit, c'est à dire la suite u_n . v_n est aussi convergente et:

  u_n . v_n = l . l'

Multiplication d'une suite convergente par une suite qui diverge vers l'infini

Si u_n est une suite convergente de limite l et v_n une suite qui diverge vers l'infini alors leur produit diverge et tend vers l'infini sauf si la limite "l" est nulle:

Pour l > 0 Si  v_n =  alors  u_n . v_n = et si Si  v_n =  alors  u_n . v_n = 

Pour l < 0 Si  v_n =  alors  u_n . v_n =  et si Si  v_n =  alors  u_n . v_n = 

Pour l = 0 on obtient une forme indéterminée

Multiplication de deux suites qui divergent vers l'infini

Si u_n et v_n sont sont deux suites divergentes ayant même limite ( ou ) alors leur produit est aussi divergent et tend vers :

Si  u_n =  et   v_n =  alors  u_n . v_n =

Si  u_n =  et   v_n =  alors  u_n . v_n = 

Cependant, si u_n et v_n sont divergent vers des limites opposée (l'une tend vers et l'autre vers ) alors on obtient à nouveau une forme indéterminée.

Quotient de suites

Division de suites convergentes

Si u_n et v_n sont sont deux suites convergentes de limites respective l et l' non nulles alors leur quotient, c'est à dire la suite u_n / v_n  est aussi convergente (à condition que l' ne soit pas nul) et:

  u_n / vn = l / l'

Si la limite l' est nulle et l non nulle alors le quotient tend vers l'infini avec un signe qui dépend du signe de "l" et de la suite vn:

Si v_n > 0 et l' > 0 alors u_n / vn =

Si v_n < 0 et l' < 0 alors u_n / vn =

Si v_n > 0 et l' < 0 alors u_n / vn = 

Si v_n < 0 et l' > 0 alors u_n / vn = 

Si l et l' sont nulles alors on obtient une forme indéterminée.

Divison impliquant une suite convergente et une suite qui diverge vers l'infini

Si u_n est une suite convergente et v_n une suite qui diverge vers l'infini ( ou ) alors leur quotient (u_n / v_n) converge et admet "0" comme limite :

 Si   u_n =l  et   v_n =  ou alors  u_n / v_n = 0 

Si au contraire  v_n est une suite convergente (de limite l') et u_n une suite qui diverge vers l'infini ( ou ) alors leur quotient (u_n / v_n) diverge vers l'infini :

Pour l' > 0 Si u_n =  alors  u_n/ v_n = et si Si u_n =  alors  u_n / v_n = 

Pour l' < 0 Si u_n =  alors  u_n / v_n =  et si Si u_n =  alors  u_n / v_n = 

Pour l' = 0 si v_n > 0 et u_n =  alors  u_n/ v_n =

Pour l' = 0 si v_n > 0 et u_n =  alors  u_n/ v_n = 

Pour l' = 0 si v_n < 0 et u_n =  alors  u_n/ v_n = 

Pour l' = 0 si v_n < 0 et u_n =  alors  u_n/ v_n = 

Division impliquant deux suites qui divergent vers l'infini

Si u_n et v_n sont sont deux suites divergentes vers  ou alors leur quotient est une forme indéterminée