Analyse - Cours Terminale S

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Raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence est un puissant outil de démonstration particulièrement utile pour l'étude des suites, il permet notamment de prouver la validité d'une conjecture faite à partir de l'expression par récurrence d'une suite pour trouver son expresion directe (qui ne dépend que l'indice "n").

Le principe du raisonnement par récurrence

Si une proposition P(n) (qui dépend d'un indice "n" entier) répond à ces deux critères:

- P(n₀) est vraie
- Si l'on suppose que pour n n₀ le fait que P(n) soit vrai implique que P(n+1) le soit aussi

Alors la proposition P(n) est vraie pour tout n n₀

Mise en pratique du raisonnement par récurrence

D'après ce qui précède, il s'effectue toujours en deux étapes:

Première étape
On l'appelle "'initialisation", elle consiste à vérifier que que le terme n₀ (souvent zéro) de la proposition est vraie. La plupart du temps il suffit de calculer et de comparer que les valeur numériques coïncident pour l'expression directe de la suite et son expression par récurrence.

Deuxième étape
Il s'agit de l'étape d' "hérédité", elle consiste à démontrer que si la propriété est vraie pour un terme "n"  (supérieur à n₀) alors elle se transmet au terme suivant "n+1" ce qui implique par par conséquent que le terme n+1 la transmettra lui même au terme n+2 qui la transmettra au terme n+3 etc.
En pratique on formule l'hypothèse que P(n) est vraie, on essaye ensuite d'exprimer P(n+1) en fonction de P(n) et on utilise cette expression pour montrer que si P(n) est vraie cela entraîne nécessirement que P(n+1) le soit aussi.
 
Une fois ces deux conditions vérifiées on peut en conclure à la validité de la proposition P pour tout entier n supérieur à n₀.

Exemple de raisonnement par récurrence

Une suite u est définie par:
- Son expression par récurrence u_n+1 = u_n+2
- Son terme initial u₀ = 4
On souhaite démontrer que son expression directe est un = 2n + 4

Première étape: l'initialisation

On vérifie que l'expression directe de u_n est correcte pour n = 0

Si u_n = 2n + 4
alors u₀ = 2.0 + 4
         u₀ = 4

La propriété est donc vérifiée pour le premier terme

Deuxième étape: l'hérédité

On suppose que l'expression un = 2n +4 est vérifiée pour un terme "n" suppérieur à zéro et l'on exprime un+1

u_n+1 = u_n+2
         =   2n +4 +2
         = 2n + 2 + 4
         = 2(n+1) +4

L'expression directe de u_n est donc également vérifiée au n+1

Conclusion, pour tout entier n supérieur ou égal à zéro l'expression directe de u est bien u_n = 2n +4