Analyse - Cours Terminale S
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Suite majorée, minorée, bornée
Définitions
Une suite (un) est dite majorée s'il existe un réel "a" tel que quel que soit le rang n un 
a
Une suite majorée est donc une suite qui ne prend pas des valeurs positives infiniement grandes et pour laquelle il existe des réels supérieurs à tous ses termes (appelés majorants).
Une suite (un) est dite minorée s'il existe un réel "a" tel que quel que soit le rang n un 
b
Une suite minorée est donc une suite qui ne prend pas des valeurs négatives infiniement grandes et pour laquelle il existe des réels inférieurs à tous ses termes (appelés minorants).
Une suite (un) est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée, c'est à dire s'il existe des réels "a" et "b" tels que pour tout rang "n" b un a
Une suite est donc bornée si tous ses termes sont inclus dans un intervalle fini.
Limites
Si une suite (un) est croissante et admet une limite "l" alors elle est majorée et "l" est un majorant. Par ailleurs son premier terme est celui qui la plus petite valeur donc cette suite est aussi minorée et le premier terme est un minorant:
Une suite croissante qui converge est une suite bornée.
De même si une suite (un) est décroissante et admet une limite "l" alors elle est minorée et "l" est un minorant. Par ailleurs son premier terme est celui qui la plus grande valeur donc cette suite est aussi majorée et le premier terme est un majorant:
Une suite décroissante qui converge est une suite bornée.
Remarque: on peut résumer en indiquant qu'une suite convergente monotone est bornée.
Les réciproques sont également vraies et permettent de prouver la covergence d'une suite mais sans préciser la valeur de sa limite:
Si une suite croissante est majorée alors elle est convergente.
Si une suite décroissante est minorée alors elle est divergente.
Au contraire, l'absence de borne pour une fonction monotone permet de démontrer qu'elle diverge vers l'infini:
Si une suite croissante n'est pas majorée alors elle tend vers 
Si une suite décroissante n'est pas minorée alors elle tend vers 
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