Analyse - Cours Terminale S

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Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

La notion de limite de fonction est utilisée pour définir la notion de continuité.

Continuité d'une fonction en un point

Définition

Une fonction "f" est dite continue en un point "a" si elle admet une limite réelle telle que f(x) = f(a)

Cette définition implique d'une part que le point "a" fasse partie de l'ensemble de définition de "f" et d'autre part que la limite de "f" à gauche de "a" soient égale à la limite de "f" à droite de "a" c'est à dire que f(x) = f(x) = f(a)

Exemple: si un fonction est définie sur [0 ; 1] par f(x) = 5 et sur ]1 ; 2] par f(x) = 10 alors elle est continue sur [0 ; 1[ ainsi que sur ] 1 ; 2 ] mais elle ne l'est pas sur [0 ; 2] car elle présente une discontinuité en "1", la limite à gauche de "1" est en effet de "5" tandis que la limite à droite est de "10".

Continuité sur un intervalle

Une fonction est continue sur un interavalle si elle est continue en chaque point de cet intervalle.

Remarque: un intervalle réel comporte une infinité de points, on ne démontre donc pas, en pratique, la continuite d'un fonction en vérifiant sa continuité en chaque point mais en faisant appel à des théorèmes et en s'appuyant sur
la continuité de fonctions de références.

Propriétés

Si une fonction est dérivable sur un intervalle alors elle est aussi continue sur cet intervalle.

Une fonction est continue si elle s'exprime comme la somme, le produit ou le quotient de fonctions continues sur leur intervalle de définition.

Les fonctions de références sont en particulier:

- la fonction racine carrée (définie sur [0 ; [
- les fonction afines (définie sur )
- la fonction carrée (définie sur )
- les fonctions puissance de type f(x) = xⁿ où n est un entier positif (définiies sur )
- la fonction inverse (définie sur ]  ; 0 [ U ]0 ; [

Ces fonctions sont continue sur tout invervalle qui est inclus dans leur intervalle de définition

Théorème des valeurs intermédiaires

Si une fonction "f", définie sur un intervalle [a ; b ], est continue sur ce même intervalle et si "k" est un nombre appartenant compris entre l'image des bornes (f(a) et f(b)) alors l'équation f(x) = k admet au moins une solution.

Remarque: ce théorème s'applique également pour un intervalle ouvert ou semi-ouvert.

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Si une fonction "f" définie sur un intervalle [a ; b] est continue et monotone (croissante ou décroissante) sur ce même intervalle alors pour tout nombre réel "k" compris entre l'image des bornes,  l'équation f(x) = k n'admet qu'une seule et unique solution.

Le théorème des valeurs intermédiaires permet de démontrer l'existence d'une solution à une équation de type f(x) = k mais elle ne donne pas ces solutions ni leur nombre pour cela, il faut s'appuyer sur le corollaire. On peut déterminer le nombre de solutions en divisant l'intervalle en [a ; b ] en intervalle où "f" est continue. l'équation f(x) = k comporte alors "n" solution si [a ; b] comporte "n" intervalles où "f" est monotone et auxquels appartient "k".