Analyse - Cours Terminale S

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Fonction cosinus

Définition

La fonction cosinus est la fonction qui a tout réel "x" associe le cosinus de ce nombre: cos(x). Elle est définie sur l'ensemble des réels (intervalle]  ; [) et elle est également contiue sur cet intervalle.

Parité

C'est une fonction paire puisque cos(-x) = cos(x), ce qui se traduit par une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées pour la représentation graphique.

Périodicité

Puisque cos( x + 2π) = cos(x) on qualifie le cosinus de fonction périodique de période 2π. Sur une représentation graphique cette périodicité implique que la totalité de la courbe peut être obtenue par translations successives de 2π ou -2π à partir d'une portion de la courbe d'étendue 2π (par exemple [-π ; π] ou [0 ; 2π])

Dérivabilité

par définition :

f'(x) =   f(x + h) - f(x)  
                         h

cos'(x) =   cos(x + h) - cos(x)  
                                  h

cos'(x) =   cos(x)cos(h) - sin(x)sin(h) - cos(x)  
                                              h

or  cos(x)cos(h) -cos (x) =cos(x)(cos(h) - 1)
                                            = cos(x).0
                                            = 0
donc:

cos'(x) =   - sin(x)sin(h)   
                             h
or  sin(h) = 1
              h

donc:

cos'(x)=  -sin(x).sin(h)   
                                  h
cos'(x) =   -sin(x).1

cos'(x) = -sin (x)

Variations de la fonction cosinus

Puisque la fonction cosinus présente une périodicité de 2π  il suffit d'étudier ses variations sur l'intrevalle [ 0 ; 2π ]

L'étude des ses variations peut être faite à partir de sa dérivée. Puisque cos'(x) = -sin(x), la fonction sinus étant positive sur [0 ; π] et négative sur [ π ; 2π] on peut en déduire que la fonction cosinus est décroissante sur  [0 ; π] et croissante sur [ π ; 2π]

On obtient donc le tableau de variation suivant

Représentation graphique

Puisque la fonction cosinus est paire il suffit de tracer sa représentation sur l'intervale [ 0 ; π ]

Par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées on obtient la représentation sur [-π ; 0] on a donc la représentation sur l'intervalle [ -π ; π ] d'étendue 2π

Pour obtenir le reste de la courbe il suffit de répéter cette portion par translations successives de 2π ou -2π