Analyse - Cours Terminale S

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Définitions et propriétés caractéristiques

Il existe une seule et unique fonction f telle f'=f et f'0) = 1

Pour démontrer cette affirmation on considère la fonction "g" telle que g(x) = f(x).f(-x) où f serait une fonction respectant les propriétés  f'=f et f(0) = 1

la dérivée de g est:

g'(x) = [f(x).f(-x)]'
        = f'(x).f(-x) + f(x).(f(-x))'
        = f'(x).f(-x) + f(x).(-f'(-x))
        = f'(x).f(-x) - f(x).f'(-x) 
 
d'après l'une des propriétés de f: f'(x) = f(x) donc

g'(x) = f(x).f(-x) - f(x).f(-x)
         = 0

g est donc une fonction constante et:

g(x) = g(0)
       = f(0).f(-0)
       = f(0).f(0)
       
D'après l'une des propriétés de f: f(0) = 1 donc:

g(x) = 1

f(x).f(-x) = 1

Puisque ce produit n'est jamais nul on peut en déduire que la fonction f ne serait également jamais nulle ce qui nous autorise à définir une fonction k telle que: k(x) = h(x)/f(x) où l'on suppose que h est une fonction qui, comme f, respecte les propriétés h'=h et h(0) = 1

La fonction k est dérivable et:

k(x)' = ( h(x)/f(x))'
        = h'(x).f(x) - h(x).f'(x)
                    f²(x)
D'après les propriétés de f et h on a h'(x) = h(x) et f'(x) = f(x) donc

k(x)' =  h(x).f(x) - h(x).f(x)
                    f²(x)

k(x)' =       0      
              f²(x)
k(x)' = 0
k(x) est donc une fonction constante et k(x) = k (0)
                                                                   = f(0)/h(0)
                                                                   = 1
Pout réel x  on a  h(x)/f(x) = 1
                          soit h(x) = f(x)

Toute fonction qui a les mêmes propriétés que f est rigoureusement égale à f, il ne peut donc y avoir plusieurs fonction différentes respectant ces propriétés.

Ces propriétés sont donc suffisantes pour définir une fonction.


Propriétés et notation de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle notée exp(x) est la fonction qui vérifie les propriétés f'(x) = f(x) et f(0) = 1 donc:
 
exp'(x) = exp(x)

exp(0) = 1

On utilise également souvent la notation e^x équivalente à exp(x) en raison d'une similitude entre les propriétés de la fonction exponentielle et de la fonction puissance.

La valeur de e¹ que l'on peut simplement noter "e" a pour valeur approximative e = 2,7182818284 mais si l'on souhaite retenir une valeur approchée peut se souvenir que "e" vaut environ 2,718.