Analyse - Cours Terminale S

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Analyse - Cours Terminale S

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Limites et variations

Signe de la fonction exponentielle

Soit "a" un réel quelconque, on peut l'exprimer comme la somme a= a/2 + a/2 donc

exp(a) = exp (a/2 + a/2)
           = exp (2.a/2)
           = (exp(a/2))²

Puisque l'exponentielle de tout nombre réel peut s'exprimer comme le carré d'une exponentielle on peut en déduire que la fonction exponentielle est toujours positive.

Variations de la fonction exponentielle

Puisque la dérivée de la fonction exponentielle correspond à la fonction exponentielle  et que cette dernière est positive sur l'ensemble des réels alors la fonction exponentielle est croissante sur l'ensemble des réels

Limite de la fonction exponentielle en 

Pour établir la limite en on peut étudier la fonction f(x) = exp(x) -x
f'(x) = exp(x) - 1         
En 1, f'(1) = exp(1) - 1
                = 2,718 - 1
                 = 1,717
donc f'(1) est positive et comme la fonction exponentielle est croissante on peut en déduire que f'(x) est positive sur l'intervalle [ 1 ;  [

Puisque f'(x) est positive sur l'intervalle [ 1 ;  [ la fonction "f" est croissante sur cet intervalle

Par ailleurs f(1) = exp(1) - 1
                          = 2,718 - 1
                          = 1,718

Donc f(x) est positive en 1 et sur tout l'intervalle [ 1 ;  [:

f(x) > 0

exp(x) -x > 0

exp(x) >  x

Or "x" tend vers  en , par comparaison on en déduit donc que:

Limite de la fonction exponentielle en 

 exp(x) =   donc:                     

 exp(-x) =

    1   = , l'inverse de la foncion 1/exp (x), c'est à dire la fonction exp(x) a donc pour limite 0
       exp(x)

Tableau de variations

Les variations de la fonctions exponentielle ainsi que ses limites permettent de dresser son taleau de variation

Autre limite:  exp(x) - 1
                                    x
                                           
 exp(x) - 1 =   exp(0 + x) - exp(0)
            x                           x

Cette expression correspond au taux d'accroissement de la  fonction exponentielle 0,  c'est à dire à la valeur de sa dérivée en 0
  exp(0 + x) - exp(0) = exp'(0)
                   x                    
                                     = exp(0)   
                                     = 1

Autre limite:   exp(x)    
                                  x
soit f la fonction définie par f(x) = exp(x) -x²    
sa dérivée est f'(x) = exp(x) - 2x
la dérivée de sa dérivée est f'' = exp(x) - 2
En 1, f''(1) = exp(1) - 2
                 = 2,718 - 2
                 = 0,718
Donc f''(1) > 0
Puisque la fonction exponentielle est croissante sur [ 1 ;  [, f''(x) est positive sur cet intervalle cequi implique que f'(x) soit croissante sur [ 1 ;  [
or f'(1) = exp(1) -2.0
            = 2,718 - 0
             = 2,718
Donc f'(1) > 0
Puisque f'(x) est croissante sur [ 1 ;  [ elle est donc positive sur la totalité de cet intervalle, ce qui implique que f(x) soit croissante sur [ 1 ; [
Or f(1) = exp(1) - 1²  
            = 2,718 - 1  
             = 1,718

Puisque f(1) est positive et que f(x) est croissante sur [ 1 ;  [ alors elle est positive sur cet intervalle:

f(x) > 0
exp(x) -x² > 0
exp(x) > x²      

Puisque x > 0, on peut diviser chaque membre par "x" sans modifier le sens de l'inégalité

exp(x) > x  
   x

Puisque  x  =  on peut donc en déduire que exp(x) possède la même limite
                                                                                      x

Autre limite: lim x.exp(x)

D'après ce qui précède

    exp (x) =  donc :
            x     

      exp(-x) =
                -x

           1         =
            -x.exp(x)

L'inverse de cette même fonction (à savoir la fonction -x.exp(x) possède donc en  une limite de 0:

  -x.exp(x) = 0 et l'opposée de cette fonction possède également une limite de 0: