Analyse - Cours Terminale S

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Limites et variations

Variations

Soient "a" et "b" deux réels strictement positifs tels que a < b

"a" possède un seul antécédent "a' " par la fonction exponentielle tel que a = exp(a') de même "b" possède un seul antécédent "b'" par la fonction exponentielle tel que b = exp(b').

Puisque fonction exponentielle est strictement croissant on également: a' < b'

De plus:

Ln (a) = ln(exp(a'))
           = a'
Ln (b) = ln(exp(b'))
           = b'
Donc puisque a' < b on a ln(a) < ln(b)

Pour tous réels strictement positifs "a" et "b", si a<b alors ln(a) < ln(b) ce qui démontre que la fonction logarithme népérien est strictement croissant sur son ensemble de définition.

Dérivation

(exp(lnx))'  = (ln'x)exp(ln(x))
x' = (ln x)'.x
1 = (ln'x).x
(ln'(x)) =  1  
                x

La dérivée de la fonction logaritme néperien est donc la fonction inverse

Cette fonction est bien positive sur l'intervalle ]0;  [ ce qui confirme que la fonction logaritme néperien est bien strictement croissante sur son ensemble de définition

Limites

La fonction exponentielle tend vers  en  donc la fonction logarithme népérien qui est sa fonction reciproque tend également vers  en 

Par ailleurs la fonction exponentielle tend vers 0 en -inf donc sa fonction réciproque tend vers  en 0

                       
Tableau de variation

Les variations et les limites de la fonction logarithme néperien permettent de dresser son tableau de variation :

Autres limites

Autres limites à connaitre pour la fonction logarithme néperien