Analyse - Cours Terminale S

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Définition et propriétés élémentaires

Le théorème des accroissements finis montre que si une fonction est strictement croissante sur un intervalle alors chaque image ne possède qu'un seul et unique antécédent.

La fonction exponentielle est bien une fonction strictement croissante sur l'intervalle ] ;  [ dont les images appartiennent à l'intervalle ]0 ; [, chaque nombre de ce dernier intervalle ne possède donc qu'un seul antécédent par la fonction exponentielle.

La fonction qui associe chaque nombre de l'intervalle ]0 ; [ à son antécédent par la fonction exponentielle est appelée fonction logarithme népérien

Cette fonction est notée ln (l pour logaritm et n pour népérien)

Ainsi si y = exp(x) alors ln (y) = x

Exemples:

Puisque exp(0) = 1 alors ln (1) = 0
Puisque exp(1) = 2,718 alors ln(e) = 1

Une conséquence directe est que la composée de la fonction exponentielle par la fonction logarithme népérien laisse tout nombre inchangé:

De même la composée de la fonction logarithme népérien par la fonction exponentielle laisse tout nombre inchangé:

La fonction logarithme népérien est définie sur l'intervalle ]0 ; [ et ses images appartiennent à l'intervalle de définition de la fonction exponentielle, à savoir ]  ;  [

La fonction logarithme néperien permet définir la fonction logarithme décimale

Notée Log(x) cette fonction est définie par la relation

                                                                                                ln (10)

Elle possède le même ensemble de définition, les mêmes propriétés algébriques que la fonction logarithme népérien, elle présente les mêmes variations ainsi que les mêmes limites en "0" et