Analyse - Cours Terminale S

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Analyse - Cours Terminale S

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Primitive

Définition

Soit "f" une fonction qui est continue sur son ensemble de définition "I". Une fonction F(x) est une primitive de la fonction f(x) :
 - à condition qu'elle soit définie et dérivable sur "I"
- di pour tout "x" de l'ensemble de définition sa dérivée correspond à f(x) soit F'(x) = f(x)

Exemple

Si f(x) = 2x est définie sur l'ensemble des nombres réels alors F(x) = x² est une primitive de la fonction "f"

On peurt vérifier:
- qu'elle est bien définie et dérivable sur l'ensemble des réels.
- que sa dérivée est (x²) = 2x
                                        = f(x)

Pour qu'une fonction puisse posséder une primitive sur un intervalle donné il suffit qu'elle soit continue sur cet intervalle.

Propriétés des primitives

Si "f" est une fonction continue sur un intervalle "I" et admet "F" comme primitive alors pour tout réel "k" la fonction F + k correspond aussi à une primitive de "f".

Si une fonction admet une primitive alors elle en possède une inifinité puisqu'en lui ajoutant n'importe quel réel on obtient une nouvelle primitive.

Exemple

Si f(x) = 2x on a vu que F(x) = x² correspond à l'une de ses primitives

On définit F₁(x) = F(x) + 1
                          = x² + 1
                F'₁(x) =  (x²)' + (1)'
                          = 2x + 0
                          = 2x
                          = f(x) donc F₁(x) est aussi une primitive de f(x)

On définit F₂(x) = F(x) + 2
                          = x² + 2
                F_'2(x) =  (x²)' + (2)'
                          = 2x + 0
                          = 2x
                          = f(x) donc F₂(x) est aussi une primitive de f(x)
                        etc...

Il n'existe cependant qu'une seule primitive à laquelle appartient un point donné (x₁ ; y₁) c'est à dire telle que F(x₁) =  y₁      

Intégrale et primitive

Si "f" est une fonction continue sur un intervalle [a ; b ] dont une primitive est F(x) alors:

L'intégrale d'une fonction "f" de "a" à "b" correspond donc à la différence entre la primitive de "f" en "b" et la primitive de "f" en "a".

Remarque: la valeur obtenue pour une intégrale donnée ne dépend pas de la primitive utilisée pour le calcul puisque les constantes dont elles diffèrent s'annulent lors de la différence F(b) - F(a).