Géométrie - Cours Terminale S

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Géométrie - Cours Terminale S

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Forme trigonométrique

Module d'un nombre complexe

Le module d'un nombre complexe z = a + ib est noté |z| (comme une valeur absolue) ou "r" et il est défini par la relation |z| =

Si le nombre complexe "z" est utilisé comme affixe du point M et du vecteur  (a ; b) alors le module de z correspond aussi à la norme du vecteur .

Un nombre complexe a même module que son conjugué, que son opposé ainsi que l'opposé de son conjugué:

Dans certains cas il est possible d'exprimer le module d'un nombre complexe, en particulier, si "z" et "z'" sont deux nombres complexes et "n" un entier alors:

 
Le module d'un produit de deux nombres complexes correspond au produit du module de chacun de ces nombres

Le module du rapport de deux nombres complexes correspond aux rapport des modules de ces nombres

Le module d'une puissance "n" d'un nombre complexe correspond à la puissance "n" de son module

Cependant attention   |z + z'| |z| + |z'|, le module de la somme de deux nombres complexe n'est pas équivalent à la somme des modules de chacun de ces nombre. On peut seulement écrire une inégalité dite triangulaire:

Argument d'un nombre complexe

L'argument d'un nombre complexe est noté arg(z) ou θ (lettre grecque thêta), il s'exprime en radian et correspond à l'angle entre le vecteur  d'affixe "z" et l'axe des abscisses

Par conséquent:

- Tous les nombres réels situés sur l'axe des abscisses ont un argument nul (θ = 0  (2π))
- Tous les imaginaires purs situés sur l'axe des ordonnées ont un argument de pi sur 2 (θ = π/2   (2π))
- Le conjugué d'un nombre complexe qui lui est symétrique par rapport l'axe des abscisse possède un argument opposé: arg() = - arg(z) (2π)

La projection du vecteur sur l'axe des abscisse correspond à "a" tandis que la projection de sur l'axe des ordonnées correspond à "b" (voir figure précédente) donc:

||.cos (θ) = a et ||.sin (θ) = b soit .cos (θ) = a et .sin (θ) = b donc:

cos (θ) =      a                
                
sin (θ) =       b          
               

On peut donc déduire cos (θ), sin (θ)  et donc θ à partir de la forme algébrique d'un nombre complexe

Notation trigonométrique d'un nombre complexe

Tout nombre complexe z = a + ib peut sécrire sous une forme trigonométrique:

On peut vérifier que cette notation trigonométrique est équivalente à la totation algébrique:

z = r ( cos(θ) + isin(θ) )

   = . (     a        +      ib       )     
                              

  =      a.        +      ib.        
                                  

  = a + ib 

Il est possible de passer de la notation algébrique à la notation trigonométrique grâce aux relations suivantes:

Inversement, on peut aussi passer d'une notation trigonométrique à une notation algébrique à partir de ces relations: