Géométrie - Cours Terminale S
Des cours gratuits de mathématiques de niveau lycée pour apprendre réviser et approfondir
Des exercices et sujets corrigés pour s'entrainer.
Des liens pour découvrir
Géométrie - Cours Terminale S
Géométrie - Cours Terminale S
Définitions et propriétés élementaires
Définition
L'ensemble des nombres complexes, noté 
, englobe celui des réels ( 
), on y trouve donc les nombres réels (0, 1, 2, -3, 1/3, 
, π, etc) mais il comporte aussi un nombre particulier noté "i" qui comme possède la caractéristique d'avoir un carré égal à 1:
Un nombre complexe quelconque "z" s'exprime comme la somme d'un réel (a) et d'un multiple de "i" (ib avec "b" réel):
"a" est appelé partie réelle de "z", il est noté Re(z)
"b" est appelé partie imaginaire de "z", il est noté Im(z)
Si la partie réelle est nulle (Re(z)=0) alors ce nombre complexe est un imaginaire pur
Si la partie imaginaire est nulle (Im(z)=0 alors ce nombre complexe est un réel pur
Egalité entre deux nombres complexes
Il existe un seul et unique nombre complexe possèdant une partie réelle donnée et une partie imaginaire donnée, ce qui implique que si deux nombres complexes (z1 = a1 + ib1 et z2 = a2 +ib2) sont égaux alors:
- Leur parties réelles sont égales, Re(z1) = Re(z2) soit a1 = a2
- Leur parties imaginaires sont égales, Im(z1) = Im(z2) soit b1 = b2
Une équation impliquant des nombres complexes conduit toujours à deux équations, l'une impliquant les parties réelles et l'autre les parties imaginaires.
Opération sur les nombres complexes
Il est possible d'utiliser les même opérations que dans l'ensemble des réels à savoir l'addition, la soustration, la multiplication et la division.
Dans les différents cas on fait appel aux nombres complexes z1 = a1 + ib1 et z2 = a2 +ib2
Multiplication par un réel k
k.z1 = k.(a1 + ib1)
= k.a1 + k.ib1
Donc Re(k.z1) = k.Re(z1) et Im(k.z1) = k.Im(z1)
Division par un réel k
z1 = (a1 + ib1)
k k
= a1 + ib1
k k
Donc Re( z1 ) = Re(z1) et Im(z1) = Im(z1)
k k k k
Addition de deux nombres complexes
z1 + z2 = a1 + ib1 + a2 +ib2
= a1 + a2 + i(b1 + b2)
Donc Re(z1 + z2) = Re(z1) + Re(z2) et Im(z1 + z2) = Im(z1) + Im(z2)
Multiplication de deux nombres complexes
z1 . z2 = (a1 + ib1).(a2 +ib2)
= a1.a2 + a1.ib2 + ib1.a2 + ib1.ib2
= a1.a2 + a1.ib2 + ib1.a2 - b1.b2
= a1.a2 - b1.b2 + i(a1.b2 + b1.a2)
Donc Re(z1 . z2) = Re(z1).Re(z2) - Im(z1). Im(z2) et Im(z1 . z2) = Re(z1).Im(z2) + Re(z2). Im(z1)
Identités remarquables
Les nombres complexes obéissent aux même identités remarquables que les nombre rappel
Avec deux nombres réels "a" et "b": (a + b)2 = a2 + 2ab +b2
Avec les deux parties d'un nombre imaginaire z = a + ib:
(a + ib)2 = a2 + 2aib +(ib)2
= a2 + i2ab - b2
= a2- b2 + i2ab
Avec deux nombres réels "a" et "b": (a - b)2 = a2 - 2ab +b2
Avec les deux parties d'un nombre imaginaire z = a - ib:
(a - ib)2 = a2 - 2aib +(ib)2
= a2 - i2ab - b2
= a2- b2 - i2ab
Avec deux nombres réels "a" et "b": (a + b).(a - b) = a2 - b2
Avec deux nombres complexes z1 = a + ib et z2 = a - ib
(a + ib).(a - ib) = a2 - (ib)2
= a2 + b2
Solutions d'une équation de second degré
Une équation équation du second degré de forme ax2 + bx + c = 0 dont le discriminant est Δ= b2 - 4ac possède deux solutions réelles si Δ > 0, une solution réelle si Δ = 0 et aucune solution réelle si le discriminant est négatif, par contre dans ce dernier cas elle possède deux solutions complexes:
Si Δ < 0 alors l'équation admet comme solutions:
et z2 = -b + i2a 2a
Pour accéder à la suite du cours et participer aux amélorations inscrivez-vous :
