Géométrie - Cours Terminale S

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Géométrie - Cours Terminale S

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Notation exponentielle

Définition

La notation exponentielle e^iθ est équivalente au nombre complexe cos (θ) + i.sin(θ):

Son module est:
|e^iθ| = cos²(θ) + sin²(θ)  
          = 1

Exemples:

eⁱ⁰ =  cos(0) + i.sin(0)
      =    1       +      0
      = 1

e^iπ/2 =  cos(π/2) + i.sin(π/2)
         =        0       + i.1
         =  i

e^iπ =  cos(π) + i.sin(π)   
      =    -1      +       0
      =    -1
 
Exprimer un nombre complexe avec la notation exponentielle

Sous forme trigonométrique un nombre complexe se note:

z = r.(cos(θ) + i.sin(θ) )

Elle comporte le terme cos(θ) + i.sin(θ) qui correspond à e^iθ , l'expression du nombre complexe devient donc:

Notation exponentielle et relations trigonmétriques

La notation exponentielle peut être utilisée pour démontrer la plupart des relations trigonométriques

Par exemple on considère  θ₁ et θ₂ deux angles exprimés en radian:

e^iθ₁ . e^iθ₂ = e^{iθ₁+iθ₂}   
e^iθ₁ . e^iθ₂ = e^{i(θ₁+θ₂)}  

(cos (θ₁) + i.sin(θ₁)).(cos (θ₂) + i.sin(θ₂)) = cos (θ₁ + θ₂) + i.sin(θ₁ + θ₂)
(cos (θ₁).cos (θ₂) + cos (θ₁).i.sin(θ₂) + i.sin(θ₁).cos (θ₂) + i.sin(θ₁).i.sin(θ₂) = cos (θ₁ + θ₂) + i.sin(θ₁ + θ₂)
(cos (θ₁).cos (θ₂) - sin(θ₁).sin(θ₂) + i(cos (θ₁).sin(θ₂) + sin(θ₁).cos (θ₂)) = cos (θ₁ + θ₂) + i.sin(θ₁ + θ₂)

L'égalité entre les parties réelles et les parties imaginaires permet d'obtenir deux équations:

*  cos (θ₁).cos (θ₂) - sin(θ₁).sin(θ₂) = cos (θ₁ + θ₂)
*  cos (θ₁).sin(θ₂) + sin(θ₁).cos (θ₂) = sin(θ₁ + θ₂)

On redémontre ainsi les relations

Si dans les formules précédente on remplace θ₂ par -θ₂  on obtient
cos (θ₁ + (-θ₂₎) = cos (θ₁).cos (-θ₂) - sin(θ₁).sin(-θ₂)
cos (θ₁ -θ₂) = cos (θ₁).cos (θ₂) + sin(θ₁).sin(θ₂)

et

sin(θ₁ + (-θ₂)) = cos (θ₁).sin(-θ₂) + sin(θ₁).cos (-θ₂)
sin(θ₁ - θ₂) = -cos (θ₁).sin(θ₂) + sin(θ₁).cos (θ₂)
sin(θ₁ - θ₂) = sin(θ₁).cos (θ₂) - cos (θ₁).sin(θ₂)

Donc: