Géométrie - Cours Terminale S
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Géométrie - Cours Terminale S
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Bases et repères de l'espace
Décomposition d'un vecteur en fonction de trois vecteurs non coplanaires
Si l'on considère trois vecteurs 
, 
et 
non coplanaires alors il est possible d'exprimer tout vecteur 
de l'espace comme une combinaison de ces trois vecteurs, il existe donc 3 réels uniques "x", "y" et "z" tels que:
= x. + y. + z.
On dit que est décomposé en fonction de , et
Base de l'espace
Si , et sont trois vecteurs non coplanaires alors ils constituent une base de l'espace
Ces vecteurs peuvent être utilisés pour décomposer tout vecteur grâce à un triplet unique de réels "x", "y" et "z" tels que: = x. + y. + z.
"x", "y" et "z" constituent alors les coordonnées du vecteur dans la base (, , ) et l'on peut ainsi noter (x ; y ; z)
Opération sur les vecteurs dans une base de l'espace
Les opérations sur les vecteurs valables en géométrie plane peuvent en générale être étendues à la géométrie dans l'espaces.
Dans un espace muni de la base (, , ) on considère les (x ; y ; z) et 
(x' ; y' ; z')
Addition de deux vecteurs
L'addition des vecteurs et correspond à un vecteur 
donc les coordonnées sont la somme des coordonnées de et :
= + alors (x+x' ; y+y' ; z+z')
Multiplication par un réel
Soit k un réel quelconque, sont produit par un vecteur donne un vecteur donc les coordonnées sont le produit des coordonnées de par k:
= k. alors (k.x ; k.y ; k.z)
Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs et sont colinéaire s'il existe un réel "k" tel que = k. ce qui implique que:
Repère de l'espace
Si à une base (, , ) de l'espace on associe un point O alors on obtient un repère (O ; , , )
A tout point M de l'espace on peut donc associer un vecteur 
qui peut être décomposé:
= x. + y. + z.
(x ; y ; z) correspond alors non seulement aux coordonnées du vecteur mais aussi à celles du point M (x ; y ; z):
- La première coordonnée (x) correspond à l'abscisse
- La deuxième coordonnée (y) correspond à l'ordonnée
- La troisième coordonnée (z) correspond à la côte
Calculs de coordonnées
Coordonnées d'un vecteur
Les coordonnées d'un vecteur peuvent être obtenues par différences entre les coordonnées de ses extrémités, par exemple si les points A et B ont pour coordonnées A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB) alors le vecteurs 
a pour coordonnées:
(xB - xA ; yB - yA ; zB - zA)
Milieu d'un segment
si les points A et B ont pour coordonnées A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB) alors le point M, milieur du segment AB a pour coordonnées:
2 2 2
Représentation paramétrique d'une droite
Si une droite est caractérisée par un vecteur directeur (a ; b ; c) et l'un de ses point A(xA;yA;zA) alors tout point M(x;y;z) est tel que 
est colinéaire au vecteur directeur c'est à dire:
= k. avec k un réel
soit:
x - xA = k.a x = k.a + xA
y - yA = k.b ou y = k.b + yA
z - zA = k.c z = k.c + zA
Ce système d'équation correspond à une représentation paramétrique d'une droite et chaque valeur réelle de k correspond au coordonnées d'un des points de cette courbe.
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