Statistiques et probabilités - Cours Terminale S

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Statistiques et probabilités - Cours Terminale S

Statistiques et probabilités - Cours Terminale S

Conditionnement par un événement de probabilité non nulle

Définition et propriétés élémentaires d'une probabilité conditionnelle

Soit une expérience aléatoire dont l'univers Ω comporte deux évenements A et B de probabilités non nulles. On peut alors définir la probabilité de l'évenement B sachant que l'événement B est déjà réalisée.

Cette probabilité se note P_A(B) et comme toutes probabilités:

0  P_A(B) 1

P_A() = 1 - P_A(B)

Elle est définie par la relation suivante:

P_A(B) = P(A B)
                P(A)

On peut en particulier vérifier que la probabilité de l'événement A sachant que l'événement A est réalisé est bien de "1" puisque:

P_A(A) = P(A A)
                P(A)
P_A(A) = P(A )
             P(A)
P_A(A) = 1


Exemple de probabilité conditionnelle

Dans une classe de terminale 80 % des élèves regardent régulièrement des comédies (événement C), 40% regardent régulièrement des drames (évenement D) et 20 % regardent ces deux types de Films.
D 'après ces données:
P(C) = 0,8
P(D)= 0,4
P(C D )= 0,2

La propabilité qu'un élève regarde régulièrement des drames sachant qu'il regarde régulièrement des comédies est:

P_C(D) =   P(C D)
                    P(C)  
P_C(D) =   0,2 
               0,8
P_C(D) = 0,25     

Cas particulier de l'équiprobabilité

Si tous les éléments de l'univers auquel appartiennent A et B sont équiprobables alors:

P(A) =  nombre d'éléments de A
            nombre d'éléments de Ω   

P(A B) = nombre d'élément de A B         
                  nombre d'éléments de Ω   

Par conséquent:

P_A(B) = P(A B)
                P(A)

P_A(B) =  nombre d'élément de A B       
               nombre d'éléments de A

Probabilité d'une intersection d'événements 

La relation qui permet d'exprimer une probabilité conditionnelle fait intervenir la probabilité d'une intersection ( P(A B) ), il est donc possible d'en déduire une expression de cette dernière.

Puisque P_A(B) = P(A B)    on en déduit que P(A B) = P_A(B).P(A)
                              P(A)                                   

Puisque P_B(A) = P(A B)    on en déduit que P(A B) = P_B(A).P(B)
                              P(B)               


Calculer la probabilité d'une intersection d'événements avec un arbre pondéré

Une méthode simple pour déterminer la probabibilté de l'intersection de deux événements A et B ( P(A B) ) consiste à réaliser un arbre pondéré à deux niveaux:
- Le premier comporte l'évenement A et son contraire
- Le deuxième niveau développe dans chaque cas les possibilité d'obtenir B ou son contraire sachant que A ou son contraire est réalisé.

On obtiendra donc un arbre pondéré de la forme suivante:

L'embranchement (1) est associé à une probabilité P(A).P_A(B) = P(A B)

L'embranchement (2) est associé à une probabilité P(A).P_A() = P(A  )

L'embranchement (3) est associé à une probabilité P().P(B) = P( B)

L'embranchement (4) est associé à une probabilité P().P() = P(  )