Statistiques et probabilités - Cours Terminale S

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Statistiques et probabilités - Cours Terminale S

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Indépendance de deux événements

Définition

On dit que deux événements A et B sont indépendants si la réalisation de l'un n'a aucune influence sur la réalisation de l'autre. Par conséquent:

La probabilité de B sachant que A est réalisé ne dépend pas de A donc P_A(B) = P(B)

La probabilité de A sachant que B est réalisé ne dépend pas de B donc P_B(A) = P(A)

Exemple: L'évenement lancer un dé est indépendant de l'évenement choisir une boule noire ou blanche dans un sac

Probabilité d'une intersection d'événements

Si A et B  sont deux événements de probabilités non nulles alors

P(A B) = P_A(B).P(A)  = P_B(A).P(B)          

Si les événements A et B sont indépendants alors P_A(B) = P(B) et P_B(A) = P(A) donc:

P(A B) = P(B).P(A)  = P(A).P(B)      

Si A et B sont deux événements indépendants alors P(A B)  = P(A).P(B)  

Démontrer que deux événements sont indépendants

Pour prouver que deux événements A et B sont indépendants, on peut utiliser un arbre pondéré pour démontrer au choix:

- que P_A(B) = P(B)

- que P_B(A) = P(A)

- que P(A B)  = P(A).P(B)  

Evénements contraires

Soient A et B deux événements indépendants de probabilités non nulles,  et  sont leurs événements contraires respectifs.

Comme pour tout événement et son  événement contraire on a:

P_A() = 1 - P_A(B)

Puisque A et B sont indépendants on a P_A(B) = P(B) donc la relation précédente devient:

P_A() = 1 - P(B)

P_A() = P()  

Ce qui démontre que A et sont indépendants, en suivant une démarche analogue on peut également montrer que  et B sont indépendants, tout comme  et .