Géométrie

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Géométrie

Géométrie

Coordonnées d'un vecteur

Définition

Les coordonnées d'un vecteur correspondent aux coordonnées Du point M tel que  = 

Si le point M a pour coordonnées M(x;y) alors les cordonnées du vecteur  sont  (x;y)

Remarque: les coordonnées d'un vecteur sont parfois notée  avec l'ordonnée en haut et l'abscisse en bas.
Exemple:

Le vecteur  est égal au vecteur  (ils ont même direction, même sens et même longeur)
Puisque le point M a comme coordonnées (9;4) le vecteur  à les coordonnées: (9;4)

Calculer les coordonnées d'un vecteur à partir de celles de ses extrémités

Soit un vecteur  défini par les points A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) alors:
- l'abscisse du vecteur correpond à la différence des abscisses des points A et B
- l'ordonnée du vecteur correspond à la différence des ordonnées des points A et B

On obtient donc  ( x_B – x_A ; y_B – y_A)

Exemple

Les coordonnées des points A et B sont A(2;5) et B (8;7) donc les coordonnées du vecteur sont
 (8 -2 ; 7 - 5  )  soit  ( 6 ; 2 )

Vecteur identiques

Si deux vecteurs sont identiques alors leur coordonnées sont les mêmes

Si les points A(x_A;y_A), B(x_B;y_B), C(x_C;y_C) et D(x_D;y_D) permettent de définir les vecteur  (x_B – x_A : y_B – y_A) et  (x_D – x_C; y_D – y_C) alors:
x_B – x_A =  x_D – x_C et  y_B – y_A =  y_D – y_C

Exemple

Le vecteur  a pour coordonnées (8-2; 7-5) soit (6;2)
Le vecteur  a pour coordonnées (3-(-3); 3-1) soit (6;2)
Puisque leur coordonnées sont les mêmes ces deux vecteurs sont identiques:  =

Vecteurs opposés

Si deux vecteurs sont opposés alors leurs abscisses ainsi que leur ordonnées sont opposées
Si  (x_u; y_u) et  (x_v; yv_v) sont opposés ( = - ) alors:
x_u = -x_v
y_u = -y_v

Exemple

Le vecteur  a pour coordonnées (8-2; 7-5) soit (6;2)
Le vecteur  a pour coordonnées (-3-3); -6-(-4)) soit (-6;-2)
Le vecteur  est donc l'opposé du vecteur :   = -