Géométrie

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Vecteurs et translations

La translation

Une translation est définie à partir de deux points A et B du plan: elle transforme le point A en point B mais elle transforme aussi, de la même manière, tout point M du plan en un point M'

Si un point M' est l'image du point M par la translation qui transforme A en B alors les segments [AM'] et [MB] ont même milieu et reciproquement si des segments [AM'] et [MB] ont le même milieu alors on peut dire que M' est l'image de M par la translation qui transforme A en B

Si [AM'] et [MB] ont le même milieu on peut aussi dire
- que B est l'image de A par la translation qui transforme M en M'
- que M est l'image de M' par par la translation qui transforme B en A
- que A est l'image de B par la translation qui transforme M' en M
- que M' est l'image de B par la translation qui transforme A en M
etc

Parallélogramme et translation

Si une translation transforme A en B et M en M' alors le quadrilatère ABM'M est un parallélogramme

En effet, d'après ce qui précède les segments [AM'] et [MB] on même milieu ce qui constitue une propriété caractéristique des parallélogrammes.

La réciproque est égamlement vraie: si le quadrilatère ABM'M est un parallélogramme alors la translation qui transforme A en B transforme aussi M en M'.

Vecteur associé à une translation

On associe le vecteur  à la translation qui transforme A en B

Si M'est l'image de M par la translation de vecteur  alors  = 

Vecteurs égaux

Les vecteurs  et  sont égaux:
- si et seulement si Les segments [AB] et [MM'] ont la même longueur, sont orientés dans le même sens, les droite (AB) et (MM') sont parallèles.
- si et seulement si le quadrilatère ABM'M est un parallélogramme.
- si et seulement si les segments [AM'] et [MB] ont le même milieu.

 
Si plusieurs vecteurs sont égaux ( =  =  etc) alors on utiliser un représentant de ces vecteurs que l'on note, en général avec une seul lettre (par soucis de simplification ) comme par exemple