Les fonctions - Classe de seconde

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Les fonctions - cours de seconde

Chapitre 1: Les fonctions

Fonction définie par une formule

Ce mode de définition est le plus courant et le plus pratique, il consiste à associer à une fonction, une expression mathématique (une formule) qui permet de calculer l'image de chaque nombre de l'ensemble de définition.

L'ensemble de définition
Il peut être fixé lors de la définition de la fonction mais il exclut nécessairement les valeurs qu'il n'est mathématiquement pas possible calculer avec la formule: on doit par exemple écarter tous les nombres qui conduisent à une division par zéro ou à la racine carrée d'un nombre négatif (voir fiche "Ensemble de définition"). Seule l'utilisation d'une formule permet de définir une fonction dont l'ensemble de définition n'est pas borné et peut coïncider par exemple avec l'ensemble des nombres réels.

Image d'un nombre
Il est nécessaire dans un premier temps de vérifier que le nombre choisi fait partie de l'ensemble de définition. Pour trouver son image il suffit ensuite de remplacer la variable x figurant dans la formule, par le nombre dont on cherche l'image puis de réaliser le calcul imposé par la formule.
Exemples
- Si la fonction f est définie par la formule f(x) = 2x +3 alors:
l'image du nombre 0 est obtenue en calculant  f(0) = 2x0 + 3 soit f(0) = 3 donc l'image du nombre 0 par cette fonction f est 3.
l'image du nombre 5 est obtenue en calculant f(5) = 2x5 + 3 soit f(5) = 13 donc l'image du nombre 5 par cette fonction f est 13.
l'image du nombre 10 est obtenue en calculant f(10) = 2x10 + 3 soit f(10) =23 donc l'image du nombre 10 par cette fonction f est 23.
etc
- Si la fonction est définie par la formule f(x) = 5x + x² +4 alors:
l'image du nombre -4 est obtenue en calculant  f(-4) = 5x(-4) + (-4)² +4
                                                                       soit f(-4) = -20 + 16 + 4
                                                                              f(-4) = 0
L'image du nombre -4 par cette fonction est donc 0
l'image du nombre 2 est obtenue en calculant  f(2) = 5x2 + 2² +4
                                                                     soit f(2) = 10 + 4 + 4
                                                                            f(2) = 18
L'image du nombre 2 par cette fonction est donc 18
l'image du nombre 10 est obtenue en calculant  f(10) = 5x10 + 10² +4
                                                                       soit f(10) = 50 + 100 + 4
                                                                              f(10) = 154
L'image du nombre 10 par cette fonction est donc 154

Antécédent d'un nombre
Pour détereminer les antécédents d'un nombre "a" il suffit de résoudre l'équation f(x) = a.
Toutes les solutions de cette équation sont des antécédents du nombre image "a".
- Il est possible de trouver un seul antécédent
Exemple:
L'antécédent du nombre 10 par la fonction f(x) = 2x +4 est solution de l'équation 2x + 4 = 10
2x = 10 – 4
2x = 6
x = 6:2
x = 3
Le seul antécédent du nombre 10 par cette fonction est le nombre 3
- Il est possible de trouver plusieurs antécédents
Exemple:
Les antécédents du nombre 20 par la fonction f(x) = 3x² +8 sont solutions de l'équation 3x² +8  = 20
3x² = 20 – 8
3x² = 12
x² = 12:3
x² = 4
x = 2 ou x = -2
Le nombre 20 possède donc par cette fonction deux antécédents: 2 et -2
- Il est possible qu'un nombre ne possède aucun antécédent, c'est le cas lorsque l'équation ne possède pas de solution.
Exemple:
L'antécédent du nombre 1 par la fonction f(x) = (x+2)/(x-2) est solution de l'équation (x+2)/(x-2) =1
(x + 2) = (x – 2)
x + 2 = x – 2
2 = -2
On aboutit à une égalité qui n'est jamais vérifiée et qui indique que cette équation n'a pas de solutions et par conséquent le nombre 1 n'a pas d'antécédent par cette fonction.