Les fonctions - Classe de seconde

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Les fonctions - cours de seconde

Trigonométrie

Cosinus et Sinus

Rappels Dans un triangle rectangle le cosinus est défini comme le rapport du coté adjacent par l'hypoténuse tandis que le sinus de cet angle est défini comme le rapport du coté opposé par l'hypoténuse                                           cos(α)  = coté adjacent                     sinus(α) = coté opposé    hypoténuse   hypoténuse                                                                                 Sinus et cosinus dans le cercle trigonométrique Dans le cercle trigonométrique le cosinus d'un angle "α" correspond à l'abscisse du point repéré par cet angle tandis que le sinus correspond à l'ordonnée de ce point. En effet, le centre O du cercle, le point M associé à l'angle α et la projection de M sur sur l'axe des abscisse (que l'on peut noter Mx) constituent un triangle: - rectangle en Mx - d'hypoténuse OM qui coïncide avec le rayon du cercle et dont la valeur est donc de 1 - de coté adjacent OMx dont la valeur est "x" - de coté opposé MxM dont la valeur est "y" Les définitions du sinus et du cosinus permettent d'en déduire que: cos (α) = OMx                     OM              =  x                    1              = x sin (α) = MxM                     OM             =  y                   1 On obtient donc bien:                    cos(α) = x et sin(α) = y Valeur et signe Le cosinus est compris entre -1 et 1, il est positif en entre -π et π , il est négatif entre π et 3π                                                                                                 2     2                                 2      2 Le sinus est également compris entre -1 et 1, il est positf de 0 à π, négatif de 0 à -π Si une valeur de 2π est ajoutée à un angle alors la valeur de son cosinus ou de son sinus reste inchangée: cos (α +2π) = cos (α) sin (α + 2π) = sin (α) L'ajout d'un angle π à la valeur d'un angle inverse le signe du cosinus et du sinus: cos (α +π) = - cos (α) sin (α + π) = - sin (α) Un angle de signe opposé a même cosinus que l'angle initial mais son sinus est l'opposé: cos (-α) = cos (α) sin (-α) = - sin (α) Application du théorème de pythagore dans le cercle trigonométrrique Si l'on considère le triangle rectangle OMMx alors on peut lui appliquer le théorème de Pythagore: OMx2 + MMx2 = OM2 x2 + y2 = 12 cos(α)2 + sin(α)2 = 1 Attention ce sont le sinus et le cosinus qui sont élevés au carré et non l'angle α Valeurs de sinus et de cosinus à connaître   Angle alpha (rad) 0 π 6 π 4 π 3 π 2 cos(alpha) 1  1 2 0 sin(alpha) 0  1 2 1