Les fonctions - Classe de seconde

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Les fonctions - cours de seconde

Expressions algébriques

Développer

'exploitation d'une expression algébrique peut necessiter des modifications telles que le développement ou la factorisation. Le développement suivi d'une réduction permet dans certains cas d'éliminer différents termes et d'obtenir une expression simplifiée, il peut se réaliser soit en utilisant la distributivité, soit en faisant appel à des identités remarquables.

Qu'est qu'un développement ?

Développer une expression consiste à transformer les produits qu'elle comporte en somme. Il est possible de développer une expression lorsqu'elle comporte par exemple des termes de la forme a x ( b + c + d)  ou (a +b) x (c +d +e), d'une manière générale le développement peut se faire sur tout produit de type A x B où soit A, Soit B ou les deux correspondent à une somme de termes notés entre parenthèses.
Image Produit developpement somme

La distributivité

La méthode la plus simple et la plus courante pour développer un produit est de faire appel à la dsitributivité de la multiplication par rapport à la somme: si un terme "a" est en facteur d'une somme de termes alors le facteur a est "distribué" à chaque terme de la somme ce implique donc les relation suivantes:
a( b + c ) = ab + ac 
a( b + c + d ) = ab + ac + ad
a( b + c + d + e ) = ab + ac + ad + ae
etc

Exemples:

* 2( x  +  3 ) = 2x + 2.3
                  = 2x + 6

* -5( 3x - 6) = (-5).3x - (-5).6
                    = -15x - (-30)
                    = -15x +30

* 3(2 + 2x + x²) = 3.2 + 3.2x + 3.x²
                          = 6    + 6x    + 3x²

* x(1 + 4x + 5x²) = x.1 + x.4x + x.5x²
                            =  x   + 4x²  + 5x³

La double distributivité

La distributivité s'applique également lorsque le facteur n'est plus un terme unique mais une somme de deux termes de forme (a + b), dans ce cas on parle de "double distributivité" et la distributivé s'applique à tour de rôle pour les deux termes ce qui aboutit aux relations suivantes:
(a +b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
(a +b)(c + d + e) = ac + ad + ae + bc + bd + be
(a +b)(c + d + e + f) = ac + ad + ae + af + bc + bd + be + bf
etc

Exemples:

* (1 + x)(2 + x) = 1.2 + 1.x  + x.2 + x.x
                         =  2   +  x   +  2x  + x²
                          = 2 + 3x + x²
                 
* (5 - 3x)(1 + 2x - 4x²) = 5.1 + 5.2x - 5.4x² + (-3x).1 + (-3x).2x - (-3x).4x²
                                     = 5    + 10x  - 20x²  + (-3x)   + (-6x²)     - (-12x³)
                                     = 5 + 10x -3x -20x² -6x² +12x³        
                                     = 5 +7x -26x² +12x³   

Remarque: le principe est le même pour la triple distributivité, la quadruple distributivité etc

Les identités remarquables

Il s'agit d'égalités entre des formes algébriques particulières, il faut les connaître par coeur et savoir les repérer au sein d'une expression afin de faciliter le développement. Voici les identités à retenir:

Exemple d'utilisation

* dans l'expression (2 + x)(2 - x) le terme 2 correspond à "a" et le terme x correspond à "b" donc:
(2 + x)(2 - x)  = 2² - x²
                      = 4 - x²

Exemple d'utilisation

* Dans l'expression (3x + 6)², "3x" est assimilable au terme "a" de l'identité remarquable précédente tandis que "6"est assimilable au terme b, on peut donc écrire:
 (3x + 6)² = (3x)² + 2.3x.6 + 6²
                = 9x² +36x + 36

Exemple d'utilisation

* Dans l'expression (5x - 3)², "5x" est assimilable au terme "a" de l'identité remarquable précédente tandis que "3" est assimilable au terme b, on peut donc écrire:
 (5x - 3)² = (5x)² - 2.5x.3 + 3²
                = 25x² +30x + 9






* L'expression 4x2 +20x + 25 peut s'ecrire (2x)2 + 2.2x.5 + 52 donc x2 est assimilable au terme a de l'identité remarquable et 5 est assimilable au terme b, on peut donc écrire:
(2x)2 + 2.2x.5 + 52 = (2x + 5)2