Les statistiques - Cours de Seconde

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Les statistiques - Cours de Seconde

Statistiques et probabilités

Notion de fonction: effectifs et fréquences

Effectifs

L'effectif d'une valeur est le nombre d'invidus dont le caractère étudié correspond à cette valeur. Il s'agit de la donnée de base d'une série statistique qui est reportée dans la deuxième ligne de son tableau.

Exemple: notes des élèves d'une classe au contrôle de mathématiques

Note sur 10 (caractère)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Nombre d'élèves	0	1	1	0	3	4	5	3	3	1	2

La population est la classe, les individus sont les élèves, le caractère est la note qui prend les valeurs entières de 0 à 10.

D'après ce tableau l'effectif de la valeur 0 est 0
                                l'effectif de la valeur 1 est 1
                                l'effectif de la valeur 2 est 1
                                l'effectif de la valeur 3 est 0
                                l'effectif de la valeur 4 est 3
                                l'effectif de la valeur 5 est 4
                                l'effectif de la valeur 6 est 5
                                l'effectif de la valeur 7 est 3
                                l'effectif de la valeur 8 est 3
                                l'effectif de la valeur 9 est 1
                                l'effectif de la valeur 10 est 2

Effectif total

L'effectif total, noté en général N, correspond au nombre d'individus qui composent la population étudiée, il peut être obtenu en ajoutant les effectifs de chaque valeur.
Si l'on reprend l'exemple précédent, alors l'effectif total est N = 0 + 1 + 1 + 0 + 3 + 4 + 5 + 3 + 3 + 1 + 2
                                                                                                  N = 23

Effectif cumulé

L'effectif cumulé est une grandeur définie dans le cas d'un caractère quantitatif. Pour l'exprimer il est nécessaire que les valeurs fournies dans le tableau soient classées dans un ordre croissant, l'effectif cumulé d'une valeur correspond alors à la somme de l'effectif de cette valeur et des effectifs de touts les valeurs inférieures.
Si l'on reprend l'exemple précédent:

Note sur 10	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Nombre d'élèves	0	1	1	0	3	4	5	3	3	1	2
Effectifs cumulés	0	0+1 = 1	0+1+1 = 2	0+1+1+0 = 2	0+1+1+0+3 = 5	0+1+1+0+3+4 = 9	0+1+1+0+3+4 +5 = 14	0+1+1+0+3+4 +5+3 = 17	0+1+1+0+3+4 +5+3+3 = 20	0+1+1+0+3+4 +5+3+3+1 = 21	0+1+1+0+3+4 +5+3+3+1+2 = 23

Fréquence

La fréquence f d'une valeur indique la proportion des individus d'une population dont le caractère correspond à cette valeur, elle est le rapport des effectif de la valeur par l'effectif total:

                                           f (valeur v) =  effectif de la valeur v
                                                                      effectif total N

Voici le tableau de l'exemple précédent complété par une ligne supplémentaire pour la fréquence

Note sur 10	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Nombre d'élèves	0	1	1	0	3	4	5	3	3	1	2
Effectifs cumulés	0	1	2	2	5	9	14	17	20	21	23
Fréquences	f =0/23  = 0	f =1/23 = 0,043	f =1/23 = 0,043	f =0/23   = 0	f =3/23 = 0,129	f =4/23 =0,172	f =5/23 = 0,215	f =3/23 = 0,129	f =3/23 = 0,129	f =1/23 = 0,043	f =2/23   = 0,086

La fréquence d'une valeur est toujours inférieure à 1 et la somme de toutes les fréquences est toujours 1

Fréquence cumulée

La fréquence cumulée d'une valeur correspond à la proportion des individus dont le caractère possède cette valeur ou une valeur inférieure. Il est possible de la calculer de deux manières différentes:
- à partir des effectifs      f(valeur n°m) = effectif de valeur n°1 + effectif de valeur n°2 + .......+ effectif de valeur n°m
                                                                                                        effectif total N

- à partir des effectifs cumulés:                   f(valeur n°m) =   effectif cumulé de la valeur n°m
                                                                                                             effectif total
                               

Si l'on reprend l'exemple précédent on peut ajouter une ligne pour les fréquences cumulées:

Note sur 10	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Nombre d'élèves	0	1	1	0	3	4	5	3	3	1	2
Effectifs cumulés	0	1	2	2	5	9	14	17	20	21	23
Fréquences	0	0,043	0,043	0	0,129	0,172	0,215	0,129	0,129	0,043	0,086
Fréquences cumulées	0/23 = 0	1/23 = 0,043	2/23 = 0,086	2/23 = 0,086	5/23 = 0,215	9/23= 0,387	14/23= 0,602	17/23= 0,731	20/23= 0,86	21/23= 0,903	23/23= 1